Dzielenie zbiorów liczb

[wireboot]

Witam

Mam takie zadanko:
Ile liczb naturalnych nie większych niż 400 jest podzielne przez 2, 3 lub 5.
Rozwiązuję to w taki sposób:
Liczb podzielnych przez 2 jest 200
Liczb podzielnych przez 3 jest 133
Liczb podzielnych przez 5 jest 80

Czyli generalnie byłoby \(\displaystyle{ 200 + 133 + 80}\) , ale ma być jeszcze odjęta część wspólna
i teraz próbuję tak to odejmować:
\(\displaystyle{ | A \cup B \cup C | = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C|}\)

Czyli z obliczeń:
\(\displaystyle{ |200| + |133| + |80| - |67| - |120| - |53| = 173}\)

Czy mój tok rozumowania jest poprawny? Czy mogę działać wg tego schematu? Pytam , ponieważ próbuję rozrysowywać to graficznie i wtedy mam inne wyniki, nie wiem gdzie popełniam błąd.

[NogaWeza]

A skąd wziąłeś ten swój wzór? To powinno wyglądać tak:
\(\displaystyle{ | A \cup B \cup C | = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|}\)
Jest to tak zwany wzór włączeń i wyłączeń.

[wireboot]

Czyli powinno być:

\(\displaystyle{ |200| + |133| + |80| - |133| - |80| - |80| + |80| = 200}\)

?
Chyba nadal coś knocę, wydaje mi się, że tych liczb powinno być więcej :/

[Premislav]

Te szpanerskie kreseczki oznaczały moc zbioru, po co je zapisujesz, skoro wpisujesz już liczby? Dobra, ale to detal.

Do rzeczy: oczywistym jest, ze robisz błąd, bo liczb (całkowitych dodatnich) parzystych nie większych niż \(\displaystyle{ 400}\) jest \(\displaystyle{ 200}\), a są liczby np. podzielne przez trzy z tego zakresu, które nie są parzyste. Np. \(\displaystyle{ 3}\) ma tę własność.
Obawiam się, że nie rozumiesz wzoru, który napisał NogaWeza. U Ciebie np. dajmy na to \(\displaystyle{ A\cap B}\) to będzie zbiór liczb z rozważanego zakresu podzielnych zarówno przez \(\displaystyle{ 2}\), jak i przez trzy, czyli podzielnych przez sześć.
No to liczb całkowitych dodatnich podzielnych przez sześc, a nie większych niż \(\displaystyle{ 400}\) masz
\(\displaystyle{ \lfloor \frac{400}{6} \rfloor=}\)
I tak dalej, musisz policzyć, ile jest podzielnych przez dwa i pięć (czyli przez \(\displaystyle{ 10}\)) - powiedzmy, że to jest \(\displaystyle{ A\cap C}\) (oznaczamy \(\displaystyle{ A}\) -zbiór liczb z \(\displaystyle{ \left\{ 1,...400\right\}}\) podzielnych przez dwa, podobnie dla \(\displaystyle{ B}\) - przez trzy i dla \(\displaystyle{ C}\) - przez pięć), przez trzy i pięć (czyli przez \(\displaystyle{ 15}\)), a na końcu ile jest podzielnych zarówno przez dwa, trzy, jak i przez pięć, i to jest "Twoje"
\(\displaystyle{ A\cap B\cap C}\)

No i wtedy wstawiasz te wartości do wzoru włączeń i wyłączeń.

[wireboot]

Teraz już jasne, dziękuję bardzo.