równanie rekurencyjne

[michal93pol]

Przedstaw wzór ogólny na rozwiązanie równania rekurencyjnego
\(\displaystyle{ a _{n+1} = \frac{3}{2} a _{n} - \frac{9}{16} a _{n-1}}\)
dla
\(\displaystyle{ a _{1}=1}\)
\(\displaystyle{ a _{2}=1}\)
zbadaj jaki rodzaj równania rekurencyjnego reprezentuje dane równanie.

[Premislav]

Równaniem charakterystycznym jest \(\displaystyle{ \lambda^{2}- \frac{3}{2}\lambda+ \frac{9}{16}=0}\)
Rozwiązanie jest postaci \(\displaystyle{ a_{n}=A\lambda^{n}+Bn\lambda^{n}}\) dla pewnych stałych \(\displaystyle{ A,B}\) i pierwiastka \(\displaystyle{ \lambda}\) równania charakterystycznego (jest podwójny). Wystarczy podstawić jakieś małe \(\displaystyle{ n}\) i wyliczyć te stałe z układu równań.
To jest równanie jednorodne.

[Mariusz M]

Funkcje tworzące są wygodniejsze

\(\displaystyle{ A(x)= \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^n}\)

Wystarczy teraz przesunąć indeksy , z zależności rekurencyjnej obliczyć \(\displaystyle{ a_{0}}\)

Rekurencja zachodzi dla \(\displaystyle{ n\geq 2}\) więc sumujemy od \(\displaystyle{ n=2}\)