Przedstaw wzór ogólny na rozwiązanie równania rekurencyjnego
\(\displaystyle{ a _{n+1} = \frac{3}{2} a _{n} - \frac{9}{16} a _{n-1}}\)
dla
\(\displaystyle{ a _{1}=1}\)
\(\displaystyle{ a _{2}=1}\)
zbadaj jaki rodzaj równania rekurencyjnego reprezentuje dane równanie.
równanie rekurencyjne
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 24 cze 2015, o 13:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
równanie rekurencyjne
Równaniem charakterystycznym jest \(\displaystyle{ \lambda^{2}- \frac{3}{2}\lambda+ \frac{9}{16}=0}\)
Rozwiązanie jest postaci \(\displaystyle{ a_{n}=A\lambda^{n}+Bn\lambda^{n}}\) dla pewnych stałych \(\displaystyle{ A,B}\) i pierwiastka \(\displaystyle{ \lambda}\) równania charakterystycznego (jest podwójny). Wystarczy podstawić jakieś małe \(\displaystyle{ n}\) i wyliczyć te stałe z układu równań.
To jest równanie jednorodne.
Rozwiązanie jest postaci \(\displaystyle{ a_{n}=A\lambda^{n}+Bn\lambda^{n}}\) dla pewnych stałych \(\displaystyle{ A,B}\) i pierwiastka \(\displaystyle{ \lambda}\) równania charakterystycznego (jest podwójny). Wystarczy podstawić jakieś małe \(\displaystyle{ n}\) i wyliczyć te stałe z układu równań.
To jest równanie jednorodne.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
równanie rekurencyjne
Funkcje tworzące są wygodniejsze
\(\displaystyle{ A(x)= \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^n}\)
Wystarczy teraz przesunąć indeksy , z zależności rekurencyjnej obliczyć \(\displaystyle{ a_{0}}\)
Rekurencja zachodzi dla \(\displaystyle{ n\geq 2}\) więc sumujemy od \(\displaystyle{ n=2}\)
\(\displaystyle{ A(x)= \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^n}\)
Wystarczy teraz przesunąć indeksy , z zależności rekurencyjnej obliczyć \(\displaystyle{ a_{0}}\)
Rekurencja zachodzi dla \(\displaystyle{ n\geq 2}\) więc sumujemy od \(\displaystyle{ n=2}\)