Podzielność liczb naturalnych

[Ann_91]

Witam,
mam parę zadań podobnych do siebie i nie jestem do końca pewna jak je rozwiązać.

1) Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, które są podzielne przez 15 lub 21 lub 35?

\(\displaystyle{ \left| A _{15} \cup A_{21} \cup A_{35} \right|=\left| A_{15} \right|+\left| A _{21} \right| +\left| A_{35} \right|-\left| A_{15} \cap A_{21} \right|-\left| A_{15} \cap A_{35} \right|-\left| A_{21} \cap \ A_{35} | +\left| A_{15} \cap A_{21} \cap A_{35} \right|=
111}\)
Do wyliczenia konkretnych wartości korzystałam ze wzoru \(\displaystyle{ \left| A_{k} \right| = \left[ \frac{999}{k} \right] - \left[ \frac{99}{k} \right]}\)


2) Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 1000, które są podzielne przez 6 i 10 i 15?

\(\displaystyle{ \left| A_{6} \cap A_{10} \cap A_{15} \right| = \left| A_{30} \right| = 33}\)
Korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ \left| A_{k} \right| = \left[ \frac{999}{k} \right]}\)

3) Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 1000, które są podzielne przez 6 i 10, ale nie są podzielne przez 15?

\(\displaystyle{ \left| A_{6} \cap A_{10} \right| - \left| A_{6} \cap A_{10} \cap A_{15} \right| = \left| A_{30} \right| - \left| A_{30} \right| = 0}\)
Wzór jak w zadaniu 2 \(\displaystyle{ \left| A_{k} \right| = \left[ \frac{999}{k} \right]}\)

4) Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 1000, które są podzielne przez 15 lub 20, ale nie są podzielne przez 60?

\(\displaystyle{ \left| A_{15} \cup A_{20} \right| - \left| A_{15} \cap A_{60} \right| - \left| A_{20} \cap A_{60} \right|+ \left| A_{15} \cap A_{20} \cap A_{60} \right| = \left| A_{15} \right| + \left| A_{20} \right| - \left| A_{15} \cap A_{60} \right| - \left| A_{20} \cap A_{60} \right|+ \left| A_{15} \cap A_{20} \cap A_{60} \right|}\)
Wynik to 99, ale wydaje mi się, że coś tu namieszałam...

5) Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 1000, które nie są podzielne przez żadną z liczb 12,15 i 18?

\(\displaystyle{ 999 - \left| A_{12} \cup A_{15} \cup A_{18} \right|= 999 - \left| A_{12} \right|+\left| A _{15} \right| +\left| A_{18} \right|-\left| A_{12} \cap A_{15} \right|-\left| A_{12} \cap A_{18} \right|-\left| A_{15} \cap \ A_{18} | +\left| A_{12} \cap A_{15} \cap A_{18} \right| = 999 - 155 = 844}\)


Byłabym bardzo wdzięczna za sprawdzenie i pomoc w zadaniach

[Medea 2]

W pierwszym punkcie naliczyłam \(\displaystyle{ 118}\) liczb. Kolejno: \(\displaystyle{ 60, 43, 36}\) (podzielnych przez \(\displaystyle{ 15, 21, 25}\)), \(\displaystyle{ 12, 9, 1}\) (przez \(\displaystyle{ 75, 105, 525}\)) i \(\displaystyle{ 1}\) (przez wszystko).

Drugie okej. W trzecim zero, bo każda podzielna przez \(\displaystyle{ 6, 10}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 30}\), zatem także \(\displaystyle{ 15}\) W czwartym idea jest dobra: liczysz osobno \(\displaystyle{ 15}\), ale nie \(\displaystyle{ 60}\), potem \(\displaystyle{ 20}\), ale nie \(\displaystyle{ 60}\) i odejmujesz te, które liczyłaś podwójnie, czyli podzielne przez \(\displaystyle{ 60}\) (NWW \(\displaystyle{ 20, 15}\)), ale nie \(\displaystyle{ 60}\) (nie ma takich ). Ostatnie dobrze.

[Ann_91]

W pierwszym chyba policzyłaś dla \(\displaystyle{ 25}\) zamiast \(\displaystyle{ 35}\) i stąd nasza rozbieżność wyników?

Czyli jak w końcu z tym czwartym, jest okej? Chyba powinnam dodać te które liczyłam podwójnie a nie odejmować?
\(\displaystyle{ \left| A_{15} \right| + \left| A_{20} \right| - \left| A_{15} \cap A_{60} \right| - \left| A_{20} \cap A_{60} \right|+ \left| A_{15} \cap A_{20} \cap A_{60} \right|}\)
Liczę najpierw ile jest podzielnych przez \(\displaystyle{ 15}\), później przez \(\displaystyle{ 20}\), a później odejmuję te, które są podzielne przez \(\displaystyle{ 15}\) i \(\displaystyle{ 60}\) oraz przez \(\displaystyle{ 20}\) i \(\displaystyle{ 60}\). A że niektóre wyniki mogłam odjąć dwa razy (choćby samo \(\displaystyle{ 60}\)) to dodaję liczby które są podzielne przez \(\displaystyle{ 15, 20}\) i \(\displaystyle{ 60}\) Ja bym powiedziała, że tak jest okej, ale już zgłupiałam