Suma symbolu Newtona

[laser15]

Witam potrzebuję jakiegoś ładnego wyprowadzenia na :


\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n-1 \choose k-1} =2^{n-1}}\)
Wiem, że \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} =2^n}\) ale nie wiem jak to zgrabnie wyprowadzić.

[bartek118]

Rozpisz \(\displaystyle{ 2^n = (1+1)^n}\) i dwumian Newtona

[laser15]

Rozpisałem tak i wyszło mi, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-1} {n-1 \choose k} =2^{n-1}}\)

[bartek118]

Przy okazji - z tą sumą u Ciebie jest coś nie tak - nie jest określona dla \(\displaystyle{ k = 0}\).

[laser15]

powinna być: \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-1} {n-1 \choose k}=\sum_{k=1}^{n} {n-1 \choose k-1}=2^{n-1}}\) zgadza się?

[bartek118]

Tak.