Witam natknąłem się z następującymi pytaniami:
1) Ile jest grafów etykietowanych o \(\displaystyle{ n-1}\) krawędziach.
2) Ile jest grafów nie etykietowanych o \(\displaystyle{ n-1}\)krawędziach.
Proszę o pomoc.
Moje przemyślenia:
Skoro mamy \(\displaystyle{ n-1}\) krawędzi i każda krawędź łączy \(\displaystyle{ 2}\) wierzchołki i ten graf myślę, że powinien mieć \(\displaystyle{ n}\) wierzchołków zatem na myśl w podpunkcie tym pierwszym przychodzi mi:
\(\displaystyle{ \frac{n \cdot (n-1)}{2}}\) grafów
Ilość grafów etykietowanych.
- jutrvy
- Użytkownik
- Posty: 1202
- Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 239 razy
Ilość grafów etykietowanych.
Nie prawda, że ten graf powinien mieć \(\displaystyle{ n}\) wierzchołków. Ty podałeś liczbę grafów o \(\displaystyle{ n}\) wierzchołkach, które są pełne - źle.
- jutrvy
- Użytkownik
- Posty: 1202
- Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 239 razy
Ilość grafów etykietowanych.
Mamy \(\displaystyle{ n-1}\) odcinków, każdy z tych odcinków ma dwa końce. Jeśli chcesz rozważać grafy etykietowane, to możesz sobie te końce jakoś ponumerować. Tych końców będzie \(\displaystyle{ 2(n-1)}\). Teraz pytamy się, na ile sposobów można te odcinki pozlepiać ze sobą końcami (dwa odcinki można zlepić co najwyżej jednym końcem - nie można zlepić z sobą dwóch odcinków dwoma końcami, bo nam się zlepi krawędź - przyjąłem, że nie liczysz krawędzi wielokrotnych i pętelek). Ile jest takich możliwości?
- jutrvy
- Użytkownik
- Posty: 1202
- Rejestracja: 24 lis 2014, o 18:04
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 239 razy
Ilość grafów etykietowanych.
Nie. Może inaczej. Zastanów się nad tym, jak można rozmieścić stopnie między wierzchołki (zakładamy, że dla dowolnego \(\displaystyle{ v\in V}\) zachodzi \(\displaystyle{ \hbox{deg}(v) > 0}\)). Zauważ, że
\(\displaystyle{ \sum_{v\in V}\hbox{deg}(v) = 2(n-1)}\).
Wskazówka: może przydatna będzie wiedza o rozmieszczeniach?...
\(\displaystyle{ \sum_{v\in V}\hbox{deg}(v) = 2(n-1)}\).
Wskazówka: może przydatna będzie wiedza o rozmieszczeniach?...