Znaleźć wzór jawny mając funkcję tworzącą

[ajwa]

Zadanie polega na znalezieniu wzoru jawnego mając funkcję tworzącą \(\displaystyle{ \frac{x^3}{(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)}}\) którą rozbiajmy na ułamki proste \(\displaystyle{ -\frac{1}{24(x-1)^3}+\frac{13}{288(x-1)}-\frac{1}{16(x+1)^2}-\frac{1}{32(x+1)}-\frac{x+1}{8(x^2+1)}+\frac{x+2}{9(x^2+x+1)}}\).
Idea jest taka, aby zamienić te wyrażenia na szeregi potęgowe i wyznaczyć współczynnik przy \(\displaystyle{ x^n}\). W ten sposób otrzymamy \(\displaystyle{ t(n)}\), jako że \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}t(n)x^n=\frac{x^3}{(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)}}\). Do tej pory udało mi się zrobić pierwsze cztery, mam problem z dwoma ostatnimi. Istnieje wskazówka aby przedostatni i ostatni wyraz pomnożyć przez odpowiednio \(\displaystyle{ 1-x^2}\) i \(\displaystyle{ 1-x}\). Póki co mam tyle:
\(\displaystyle{ -\frac{(x+1)(1-x^2)}{8(x^2+1)(1-x^2)}=\frac{x^3+x^2-x-1}{8(1-x^4)}=\frac{1}{8}(x^3+x^2-x-1) \sum_{n=0}^{\infty} x^4n}\)

\(\displaystyle{ \frac{(x+2)(1-x)}{9(x^2+x+1)(1-x)}=\frac{1}{9}(-x^2-x+2) \sum_{n=0}^{\infty} x^3n}\)

Dalej nie wiem co zrobić, proszę o pomoc jeśli ktoś miał styczność kiedyś z czymś podobnym.

[Medea 2]

Pokażę, jak zabrać się za ostatni człon. Po skorzystaniu ze wskazówki masz:

\(\displaystyle{ \frac{2 - x - x^2}{9(1-x^3)}.}\)

Rozbijasz na trzy:

\(\displaystyle{ 9 \cdot \left (2 \cdot \frac 1 {1-x^3} - x \cdot \frac 1 {1-x^3} - x^2 \cdot \frac 1 {1-x^3} \right).}\)

Teraz już sobie poradzisz chyba. Musisz rozwinąć \(\displaystyle{ \textstyle \frac{1}{1-q}}\) w szereg potęgowy i wstawić \(\displaystyle{ q = x^3}\).