n-cyfrowa liczba

[FoxOtRoxx]

Witam,
mam pewien problem z poniższym zadaniem :

Na ile sposobów można utworzyć n-cyfrową liczbę nie zawierającą cyfry 0 tak, aby
a. nie wystąpiła w niej liczba nieparzysta lub liczba 2 lub liczba 8.
b. pewna z cyfr 1, 2 . . . , 9 nie wystąpiła w utworzonej liczbie.
c. każda z cyfr 1, 2 . . . , 9 wystąpiła w utworzonej liczbie.

Jeśli chodzi o kwestie podpunktu a) to uważam, że powinno się go rozbić na 3 przypadki, które później będą sumowane za pomocą zasady włączania i wyłączania tj. :

\(\displaystyle{ A_{1}}\) - nie zawierająca 0 i liczb nieparzystych -> \(\displaystyle{ 4^{n}}\)
\(\displaystyle{ A_{2}}\) - nie zawierająca 0 i liczby 2 -> \(\displaystyle{ 8^{n}}\)
\(\displaystyle{ A_{3}}\) - nie zawierająca 0 i liczby 8 -> \(\displaystyle{ 8^{n}}\)

I następnie gdy stosujemy zasadę włączania i wyłączania to mamy:

\(\displaystyle{ \left[ A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}\right] = \left| A_{1}\right| + \left| A_{2}\right| + \left| A_{3}\right| - \left[ A_{1} \cup A_{2}\right] - \left[ A_{1} \cup A_{3}\right] - \left[ A_{2} \cup A_{3}\right] + \left[ A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}\right] = 4^{n} + 8^{n} + 8^{n} - 3^{n} - 3^{n} - 7^{n} + 2^{n}?}\)

Natomiast co do drugiego i trzeciego podpunkt mam dylemat bo nie wiem czy tu należy rozważać 9 przypadków tzn. brać pod uwagę każda liczbę osobno?

W miarę możliwości prosiłbym o podpowiedź.
Pozdrawiam.

[loitzl9006]

Moim zdaniem trochę przekombinowałeś z tym włączaniem i wyłączaniem

Na ile sposobów można utworzyć n-cyfrową liczbę nie zawierającą cyfry 0 tak, aby
a. nie wystąpiła w niej liczba nieparzysta lub liczba 2 lub liczba 8.

wg mnie taka liczba może zawierać wyłącznie cyfry \(\displaystyle{ 4, 6}\)

Mamy liczbę \(\displaystyle{ n-}\)cyfrową

\(\displaystyle{ \underbrace{* \ * \ * \ * \ * \ ... \ *}_{n \ cyfr}}\)

Na pierwszym miejscu może stać czwórka bądź szóstka czyli \(\displaystyle{ 2}\) sposoby, na drugim miejscu też \(\displaystyle{ 2}\) sposoby umieszczenia cyfry, ... , i na ostatnim \(\displaystyle{ n}\)-tym miejscu też \(\displaystyle{ 2}\) sposoby.

Razem będzie
\(\displaystyle{ \underbrace{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot ... \cdot 2}_{n \ razy}=2^n}\)

i taka jest wg mnie odp do podpunktu a

b)
tutaj mamy sytuację następującą - "pewna cyfra" - czyli wybierasz dowolną (jedną) cyfrę, która się nie pojawi w naszej liczbie. Mając na wstępie \(\displaystyle{ 9}\) cyfr do dyspozycji, i wybierając jedną co się nie pojawi - zostaje nam \(\displaystyle{ 8}\) cyfr do dyspozycji

\(\displaystyle{ \underbrace{* \ * \ * \ * \ * \ ... \ *}_{n \ cyfr}}\)

Na pierwszym miejscu możemy zatem umieścić cyfrę na \(\displaystyle{ 8}\) sposobów, podobnie na drugim, trzecim, ... , wreszcie ostatnim (\(\displaystyle{ n-}\) tym )

\(\displaystyle{ \underbrace{8\cdot8\cdot8\cdot8\cdot8\cdot ... \cdot 8}_{n \ razy}=8^n}\)

c) niestety nie pomogę

[FoxOtRoxx]

Dzięki za szybką odpowiedź.

Czy twoje rozumowanie podpunktu "a" nie jest czasami prawdziwe tylko wtedy gdy podpunkt "a" do zadania brzmi tak :

a. nie wystąpiła w niej liczba nieparzysta i liczba 2 i liczba 8?

[loitzl9006]

dla mnie to jest to samo ale widzę do czego zmierzasz, wcześniej o tym nie pomyślałem

w ogóle to śliski temat z tymi i i lub..

dla mnie wersja z "i" oznacza to samo co wersja z "lub" ale to tylko moje zdanie

W każdym razie tobie chodzi o sytuację w której:

1. Liczba może składać się z samych parzystych np. \(\displaystyle{ 264826}\)

lub

2. Liczba może składać się z wszystkich za wyjątkiem \(\displaystyle{ 2}\) np. \(\displaystyle{ 134556789}\)

lub

3. Liczba może składać się z wszystkich za wyjątkiem \(\displaystyle{ 8}\) np. \(\displaystyle{ 12345679}\)

[FoxOtRoxx]

Tak dokładnie o tą sytuacje mi chodzi z tym, że później trzeba jeszcze wykluczyć powtarzające się liczby, dlatego tez użyłem zasady włączania i wyłączania.

[loitzl9006]

chyba nie pomogę z tym podpunktem a)
już pomijając zasadę właczania-wyłączania, wypisałem sobie wszystkie \(\displaystyle{ 2-}\)cyfrowe i każda z nich spełnia ten warunek, a liczb \(\displaystyle{ 2-}\)cyfrowych jest \(\displaystyle{ 90}\)
tymczasem wyrażenie \(\displaystyle{ 4^{n} + 8^{n} + 8^{n} - 3^{n} - 3^{n} - 7^{n} + 2^{n}}\) dla \(\displaystyle{ n=2}\) wynosi \(\displaystyle{ 81}\) ale nie umiem znaleźć błędu..

[FoxOtRoxx]

Spoko, mimo wszystko dzięki za pomoc.