Na ile sposobów...

[InYourHead]

Na ile sposobów z talii 52 kart można wybrać 6 kart, tak, aby były wśród nich karty wszystkich kolorów?


Mamy dwie możliwości:

1) 3 karty jednego koloru, oraz pozostałe karty, po jednej z każdego innego koloru

2) 2 karty jednego koloru, 2 innego, oraz po jednej z pozostałych dwóch kolorów


Ad 1.

Wybieramy kolor 3 pierwszych kart na \(\displaystyle{ {4 \choose 1}}\) sposobów, a potem \(\displaystyle{ {13 \choose 3} {13 \choose 1} {13 \choose 1}{13 \choose 1}}\), czyli w sumie\(\displaystyle{ {4 \choose 1}{13 \choose 3} {13 \choose 1} {13 \choose 1}{13 \choose 1}}\)

Ad 2.

Same karty możemy wybrać na \(\displaystyle{ {13 \choose 1}{13 \choose 1}{13 \choose 2}{13 \choose 2}}\), jednak trzeba się zastanowić, jak wybrać można kolory:
Musimy wybrać 2 kolory z 4, które będą miały 2 karty (2 kolory z 4, które będą miały jedną kartę), czyli mnożymy \(\displaystyle{ {4 \choose 2}}\), czyli w sumie \(\displaystyle{ {4 \choose 2}{13 \choose 1}{13 \choose 1}{13 \choose 2}{13 \choose 2}}\)

Rozwiązaniem jest suma dwóch podpunktów. Może mnie ktoś poprawić, lub zweryfikować myślenie?

[Medea 2]

Rozwiązanie poprawne. Jeżeli talia liczy sobie \(\displaystyle{ 4k}\) kart, to sposobów, które teraz zliczasz, będzie (po kilku uproszczeniach) dokładnie

\(\displaystyle{ \frac{1}{6} k^4 \left(13 k^2-30 k+17\right).}\)