Postać jawna ciągu

[0Mniac]

Witam. Mam znaleźć postać jawną ciągu

\(\displaystyle{ a_{n+2}= 5a_{n+1}- 6a_{n}, a_{0}=2, a _{1}=5}\)

Obliczam \(\displaystyle{ x_{1}=3 x_{2}=2}\)

I mam układ równań, tylko nie wiem jaki tutaj zastosować, bo mam \(\displaystyle{ a_{1} a_{2}}\), a nie \(\displaystyle{ a_{0} a_{1}}\)
, więc czy mogę tutaj zastosować układ

\(\displaystyle{ \begin{cases} Ax_{1}+ Bx_{2}=a_{1} \\ A x^{2} _{1}+B x^{2} _{2}= a_{2} \end{cases}}\)

Czy tutaj mogę po prostu za \(\displaystyle{ a_{1}}\) dać \(\displaystyle{ a_{2}}\), a za \(\displaystyle{ a_{0}}\) dać \(\displaystyle{ a_{1}}\)?

[Barbara777]

Szukamy rozwiazania postaci \(\displaystyle{ a_n=r^n}\)

Wstawiajac to do danego rownania dostajemy \(\displaystyle{ r_1=2}\) i \(\displaystyle{ r_2=3}\)

Rozwiazaniem ogolonym rownania jest kombinacja liniowa rozwiazan bazowych, czyli

\(\displaystyle{ a_n= A\cdot 2^n+B\cdot 3^n}\)

Wstawiajac do tego wyrazenia warunki poczatkowe \(\displaystyle{ a_0=2}\) i \(\displaystyle{ a_1=5}\) dostajemy ukladzik rownan liniowych z niewiadomymi \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), z ktorego otrzymujemy \(\displaystyle{ A=1, B=1}\)

Odpowiedz: \(\displaystyle{ a_n= 2^n+3^n}\)