sumowanie, metody elementarne

[prawyakapit]

Korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona znajdź zwartą postać sumy:

\(\displaystyle{ d) \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} {n \choose k} 2^{k}}\)

po scałkowaniu i przemnożeniu przez x wyszło mi
\(\displaystyle{ d) \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} {n \choose k} 2^{k}= \frac{3^{n+1}-1}{2(n+1)}}\)

chciałam sprawdzić czy to jest dobrze, wyznaczyłam \(\displaystyle{ a_{0}=1 , a_{1}=1, a_{2}= \frac{8}{3}}\)
suma mi tego wychodzi \(\displaystyle{ 4 \frac{2}{3}}\) a po podstawieniu do wyznaczonego wzoru \(\displaystyle{ \frac{8}{6}}\)

gdzie popełniam błąd ?

[Premislav]

Moim zdaniem jest dobrze, natomiast nie rozumiem "sprawdzających" obliczeń. Konkretnie jak rozumiem przyjmujesz n=2, no to w takim wypadku ni choja nie wyjdzie Ci ze zwartej postaci wzoru \(\displaystyle{ \frac{8}{6}}\) (może myślałaś o \(\displaystyle{ 2^{n+1}}\) zamiast \(\displaystyle{ 3^{n+1}}\)?).
Nie trzeba tu nic całkować (choć można): mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} {n \choose k} 2^{k}= \frac{1}{2(n+1)} \sum_{k=0}^{n}{n+1\choose k+1}2^{k+1}=\frac{1}{2(n+1)} \sum_{k=1}^{n+1}{n+1\choose k}2^{k}1^{n+1-k}=\\=\frac{1}{2(n+1)} \left(\sum_{k=0}^{n+1}{n+1\choose k}2^{k}1^{n+1-k}-1\right)}\)
(ta jedynka jest odejmowana tylko raz, jesli zapis budziłby wątpliwości - po prostu rozpisałem zero, dodając i odejmując "zerowy" wyraz). No i dwumian Newtona.