Permutacje o 3 inwersjach

[Sejuanka]

Takie zadanko: ile jest permutacji zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,...,n \right\}}\) o 3 inwersjach?

Doszłam do tego że nie mniej niż dla zbioru \(\displaystyle{ \left\{1,...,n-1\right\}}\) (bo można nową liczbę dopisać na koniec i inwersji będzie tyle samo) i nie więcej niż \(\displaystyle{ \frac{n!}{2}}\) bo nieparzyste, ale znaleźć jakiegoś konkretnego schematu nie potrafie, do tego sprawdzanie ręczne juz przy \(\displaystyle{ n=5}\) robi się dość rozległe. Jakieś pomysły?

[mostostalek]

W jaki sposób można utworzyć inwersję w permutacji takiego zbioru? Ano tylko poprzez przesunięcie k-tego elementu o jedno miejsce w lewo.. W ten sposób elementy \(\displaystyle{ a_{k-1}}\) oraz \(\displaystyle{ a_k}\) utworzą inwersję.. Zauważmy dodatkowo, że przesunięcie danej liczby w ciągu o 2 miejsca w lewo utworzy nam dwie inwersje, a przesunięcie o 3 miejsca w lewo trzy inwersje..

Jak mogę zatem utworzyć 3 inwersje w takim zbiorze?
Mam 3 możliiwości:
1 - przesunięcie jednego elementu o 3 miejsca w lewo - mogę to zrobić na \(\displaystyle{ n-3}\) sposobów gdyż wyrazów 1, 2 i 3 nie mogę przesunąć aż o tyle miejsce w lewo.

2 - przesunięcie k-tego elementu o 2 miejsca w lewo i przesunięcie innego elementu o 1 miejsce w lewo..
Wybieram element do przesunięcia o 2 miejsca na \(\displaystyle{ n-2}\) sposobów, następnie wybieram element do przesunięcia o 1 miejsce na \(\displaystyle{ n-1}\) sposobów.. Muszę jednak pamiętać, że nie mogę przesunąć w lewo elementu \(\displaystyle{ a_{k-1}}\) gdyż w ten sposób zamiast zyskać stracę jedną inwersję. Mam zatem \(\displaystyle{ n-2}\) wyborów na drugi element. Łącznie jest ich \(\displaystyle{ (n-2)^2}\)

3 - przesunięcie trzech różnych elementów o 1 miejsce w lewo.. Robię to na \(\displaystyle{ (n-1)(n-2)(n-3)}\) sposobów..

Posumować i powinno być ok.

[Sejuanka]

W 3 punkcie podzielić to wszystko przez 6, tak mi się wydaje. Wtedy tych inwersji wychodzi \(\displaystyle{ \frac{n(n^2-7)}{6}}\) co by się zgadzało, dzięki.