Udowodnić nierówność

[virnoy]

Udowodnić, że dla każdej naturalnej liczby \(\displaystyle{ n}\) różnej od zera \(\displaystyle{ \frac{4^n}{2n} \le {2n \choose n}}\)

[Zahion]

Indukcja matematyczna

[virnoy]

A dokładniej, jeśli mozna prosić? Próbowałem indukcją i niewiele wyszło.

[Zahion]

\(\displaystyle{ {2n+2 \choose n+1} = \frac{\left( 2n+2\right)! }{\left( n+1\right) !^{2} }= \frac{\left( 2n!\right)\left( 2n+1\right)\left( 2n+2\right) }{ \left( n!\right)^{2} \left( n+1\right)^{2} } \ge \frac{4 ^{n}\left( 2n+1\right)\left( 2n+2\right) }{2n\left( n+1\right) ^{2} }= \frac{4 ^{n}\left( 2n+1\right) }{n\left( n+1\right) }= \frac{4 ^{n+1} }{2\left( n+1\right) }\cdot \frac{2n+1}{2n} > \frac{4 ^{n+1} }{2\left( n+1\right) }}\).