Witam, mam takie zadanko :
W sklepie są 2 pary skarpetek białych, 3 niebieskich, 4 zielonych i 1 czarna. Na ile sposobów można kupić 1,2,...,10 par skarpetek?
Robię to tak :
\(\displaystyle{ P(x) = \sum_{n=0}^{2}(x^n) \sum_{n=0}^{3}(x^n) \sum_{n=0}^{4}(x^n) \sum_{n=0}^{1}(x^n) \newline
P(x) =(1-x^3)(1-x^4)(1-x^5)(1-x^2)\sum_{n=0}^{\infty}{n + 3\choose n}x^n \newline
P(x) =( 1 - x^2 - x^3 - x^4 + x^6 + 2x^7 + x^8 - x^{10} - x^{11} -x^{12} + x^{14} )\sum_{n=0}^{\infty}{n + 3\choose n}x^n}\)
I teraz znajdowanie tych sposobów, mam na wykladzie przykład podany ale nie wiem dlaczego tak jest do końca np. dla 8 par skarpet by to wyglądało tak :
\(\displaystyle{ {8 + 3\choose 8} - {6 + 3\choose 6} - {5 + 3\choose 5} - {4 + 3\choose 4} + {2 + 3\choose 2} + 2{1 + 3\choose 1} - {0 + 3\choose 0}=}\) ilosc sposobów zakupu 8 par
Jest na to jakis wzor ? Czy sposób rozwiązania jest prawidłowy ?