Rozmieszczenie punktów w sześcianie

[selenir]

W sześcianie o krawędzi długości \(\displaystyle{ 2\sqrt{3}}\) umieszczamy \(\displaystyle{ n}\) punktów. Jeśli wymagamy, aby zawsze była para punktów odległych od siebie o co najwyżej \(\displaystyle{ 3}\), to można przyjąć, że:
a) \(\displaystyle{ n=7}\)
b) \(\displaystyle{ n=9}\)
c) \(\displaystyle{ n=10}\)

Mógłby ktoś wskazać drogę jak się do tego zabrać? Z góry dziękuję.

[Premislav]

Wskazówka: jak sobie podzielisz ten sześcian na \(\displaystyle{ 8}\) identycznych sześcianików, każdy o boku długości \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\), to przekątna tego malucha ma długość \(\displaystyle{ \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3}\).
No a punkty w sześcianie o największej od siebie odległości leżą na końcach przekątnej bryłki.-- 9 cze 2015, o 19:34 --No i Dirichlet.

[Sachato]

Kolego z UKSW!

Przekątna sześcianu, da Ci \(\displaystyle{ 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}\), czyli długość przekątnej to 6.

I teraz najważniejsze- zwróć uwagę, że w zadaniu jest napisane- masz \(\displaystyle{ n}\) punktów i musisz znaleść conajmniej jedną parę, która jest oddalona od siebie o co najwyżej 3. Czysto hipotetycznie- wstawiając w każdy wierzchołek sześcianu ten punkt, mając do dyspozycji tylko 7 punktów, nie da rady stworzyć takiej sytuacji, żeby była od siebie odległa chociaż jedna para- 3 punkty w wierzchołkach podstawy dolnej, i 4 punkty w wierzchołkach podstawy górnej (taki przykład). Ale jak masz do dyspozycji 9 punktów, gdzie wypełnisz wierzchołki punktami i w dodatku masz jeden wolny punkt, to niezależnie od tego gdzie ten punkt w sześcianie ustawisz, zawsze znajdziesz takie współrzędne, że będzie punkt odległy od któregoś z wierzchołków oddalony o te co najwyżej 3.