Rozwiąż równanie rekurencyjne

[Sachato]

Witam!

Polecenie jak w tytule- Rozwiązać równanie rekurencyjne i mam coś takiego:

\(\displaystyle{ a_{0}=0}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=1}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1} + 2a_{n} - 8 a_{n-1} = n2^{n}}\)

Jak ja mam to ruszyć w ogóle? Próbowałem na brutala to robić, tj. podstawiając wszędzie za \(\displaystyle{ n=1,2...}\) ale zostawało mi \(\displaystyle{ a_{2}}\) i \(\displaystyle{ a_{-1}}\). Na ćwiczeniach rekurencje robiliśmy coś w stylu, że to co jest w indeksie "_{n+1} _{n}" to idzie do mianownika, dzieliliśmy przez a^{n} i potem jak równanie kwadratowe się rozwiązywało... Więc jeżeli chodzi o rekurencje, to na tyle jestem ograniczony. Jak mam to ruszyć w łatwy prosty sposób? (bez żadnych sigm, bo i takie odpowiedzi widywałem w tematach... ;/ )

[Mariusz M]

Z tymi sigmami więcej widać np jak przewidywać rozwiązanie tzw równania niejednorodnego
oraz dlaczego tak a nie inaczej wygląda rozwiązanie tzw równania jednorodnego
Jeśli nie chcesz przewidywać to istnieje analog uzmienniania stałych

[Tom44]

Ja bym najpierw przesunął indeks o 1, tzn.:

\(\displaystyle{ a _{n+2}+2a_{n+1}-8a_n=(n+1)2^{n+1}}\)

Następnie rozwiąż równanie jednorodne odpowiadające temu równaniu (tzn. równanie z 0 po prawej stronie):
\(\displaystyle{ a _{n+2}+2a_{n+1}-8a_n=0}\) (1)

Najlepiej wyznacz równanie charakterystyczne metodą podstawienia:
\(\displaystyle{ a_n=t^n}\), podstaw to do (1) i nasępnie podziel obustronnie przez \(\displaystyle{ t^n}\). Otrzymasz równanie charakterystyczne (trójmian kwadratowy):

\(\displaystyle{ t^{2}+2t-8=0}\) itd. itd.