Witam!
Polecenie jak w tytule- Rozwiązać równanie rekurencyjne i mam coś takiego:
\(\displaystyle{ a_{0}=0}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=1}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1} + 2a_{n} - 8 a_{n-1} = n2^{n}}\)
Jak ja mam to ruszyć w ogóle? Próbowałem na brutala to robić, tj. podstawiając wszędzie za \(\displaystyle{ n=1,2...}\) ale zostawało mi \(\displaystyle{ a_{2}}\) i \(\displaystyle{ a_{-1}}\). Na ćwiczeniach rekurencje robiliśmy coś w stylu, że to co jest w indeksie "_{n+1} _{n}" to idzie do mianownika, dzieliliśmy przez a^{n} i potem jak równanie kwadratowe się rozwiązywało... Więc jeżeli chodzi o rekurencje, to na tyle jestem ograniczony. Jak mam to ruszyć w łatwy prosty sposób? (bez żadnych sigm, bo i takie odpowiedzi widywałem w tematach... ;/ )
Rozwiąż równanie rekurencyjne
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rozwiąż równanie rekurencyjne
Z tymi sigmami więcej widać np jak przewidywać rozwiązanie tzw równania niejednorodnego
oraz dlaczego tak a nie inaczej wygląda rozwiązanie tzw równania jednorodnego
Jeśli nie chcesz przewidywać to istnieje analog uzmienniania stałych
oraz dlaczego tak a nie inaczej wygląda rozwiązanie tzw równania jednorodnego
Jeśli nie chcesz przewidywać to istnieje analog uzmienniania stałych
-
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 31 sty 2015, o 12:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 5 razy
Rozwiąż równanie rekurencyjne
Ja bym najpierw przesunął indeks o 1, tzn.:
\(\displaystyle{ a _{n+2}+2a_{n+1}-8a_n=(n+1)2^{n+1}}\)
Następnie rozwiąż równanie jednorodne odpowiadające temu równaniu (tzn. równanie z 0 po prawej stronie):
\(\displaystyle{ a _{n+2}+2a_{n+1}-8a_n=0}\) (1)
Najlepiej wyznacz równanie charakterystyczne metodą podstawienia:
\(\displaystyle{ a_n=t^n}\), podstaw to do (1) i nasępnie podziel obustronnie przez \(\displaystyle{ t^n}\). Otrzymasz równanie charakterystyczne (trójmian kwadratowy):
\(\displaystyle{ t^{2}+2t-8=0}\) itd. itd.
\(\displaystyle{ a _{n+2}+2a_{n+1}-8a_n=(n+1)2^{n+1}}\)
Następnie rozwiąż równanie jednorodne odpowiadające temu równaniu (tzn. równanie z 0 po prawej stronie):
\(\displaystyle{ a _{n+2}+2a_{n+1}-8a_n=0}\) (1)
Najlepiej wyznacz równanie charakterystyczne metodą podstawienia:
\(\displaystyle{ a_n=t^n}\), podstaw to do (1) i nasępnie podziel obustronnie przez \(\displaystyle{ t^n}\). Otrzymasz równanie charakterystyczne (trójmian kwadratowy):
\(\displaystyle{ t^{2}+2t-8=0}\) itd. itd.