Funkcja tworząca - jawny wzór na n-ty wyraz ciągu

[SuperM4n]

Witam.
Mam zadanie: " Dany jest ciąg rekurencyjny \(\displaystyle{ (a _{n}}\), w którym \(\displaystyle{ a_{0} =2, a_{1}=5}\) i \(\displaystyle{ a_{n} = 5a_{n-1} - 6a_{n-2} +2}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\). Za pomocą funkcji tworzacej wyznaczyć jawny wzór na n-ty wyraz ciągu."

Zacząłem standardowo: \(\displaystyle{ a_{n} - 5a_{n-1} + 6a_{n-2}=2}\). Po wykonaniu podstawowych dla tego typu zadania obliczeń, otrzymałem: \(\displaystyle{ f(x)(6x ^{2}-5x+1)= 2 -5x + 2x^{2} +2x^{3}+...}\), ale nie mam pojęcia, jak to dalej przekształcić. Czy ktoś mógłby mi pomóc?

[Tom44]

Po mojemu to ten szerego który tam otrzymujesz jest geometryczny i dla \(\displaystyle{ \left| x\right| <1}\) jest:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } x^{n+2} = x^2\sum_{n=0}^{ \infty }x^n = \frac{x^2}{1-x}}\).

dzięki temu otrzymasz równanie

\(\displaystyle{ f(x)(6x^2-5x+1)=2-5x+\frac{x^2}{1-x}}\)

Po obustronnym pomnożeniu przez \(\displaystyle{ (1-x)}\) otrzymasz ( z uprzednio wyznaczonymi pierwiastkami trójmianu po lewej stronie równania), że:

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{7x^2-7x+2}{(1-x)(x-2)(x-3)}}\).
Później wystarczy zamienić tez ułamek na sumę ułamków prostych i rozwinąć ich w szeregi potęgowe i odczytać ciąg \(\displaystyle{ a_n}\)

[SuperM4n]

No dobrze, ale co z tymi dwójkami przy tym szeregu? Dlaczego one zniknęły?

[Tom44]

Sorki, pomnóż je przez ten szereg-- 9 cze 2015, o 13:53 --Tzn przez ten ułamek, x^2/(1-x)