Witam.
Mam zadanie: " Dany jest ciąg rekurencyjny \(\displaystyle{ (a _{n}}\), w którym \(\displaystyle{ a_{0} =2, a_{1}=5}\) i \(\displaystyle{ a_{n} = 5a_{n-1} - 6a_{n-2} +2}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\). Za pomocą funkcji tworzacej wyznaczyć jawny wzór na n-ty wyraz ciągu."
Zacząłem standardowo: \(\displaystyle{ a_{n} - 5a_{n-1} + 6a_{n-2}=2}\). Po wykonaniu podstawowych dla tego typu zadania obliczeń, otrzymałem: \(\displaystyle{ f(x)(6x ^{2}-5x+1)= 2 -5x + 2x^{2} +2x^{3}+...}\), ale nie mam pojęcia, jak to dalej przekształcić. Czy ktoś mógłby mi pomóc?
Funkcja tworząca - jawny wzór na n-ty wyraz ciągu
-
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 31 sty 2015, o 12:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 5 razy
Funkcja tworząca - jawny wzór na n-ty wyraz ciągu
Po mojemu to ten szerego który tam otrzymujesz jest geometryczny i dla \(\displaystyle{ \left| x\right| <1}\) jest:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } x^{n+2} = x^2\sum_{n=0}^{ \infty }x^n = \frac{x^2}{1-x}}\).
dzięki temu otrzymasz równanie
\(\displaystyle{ f(x)(6x^2-5x+1)=2-5x+\frac{x^2}{1-x}}\)
Po obustronnym pomnożeniu przez \(\displaystyle{ (1-x)}\) otrzymasz ( z uprzednio wyznaczonymi pierwiastkami trójmianu po lewej stronie równania), że:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{7x^2-7x+2}{(1-x)(x-2)(x-3)}}\).
Później wystarczy zamienić tez ułamek na sumę ułamków prostych i rozwinąć ich w szeregi potęgowe i odczytać ciąg \(\displaystyle{ a_n}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } x^{n+2} = x^2\sum_{n=0}^{ \infty }x^n = \frac{x^2}{1-x}}\).
dzięki temu otrzymasz równanie
\(\displaystyle{ f(x)(6x^2-5x+1)=2-5x+\frac{x^2}{1-x}}\)
Po obustronnym pomnożeniu przez \(\displaystyle{ (1-x)}\) otrzymasz ( z uprzednio wyznaczonymi pierwiastkami trójmianu po lewej stronie równania), że:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{7x^2-7x+2}{(1-x)(x-2)(x-3)}}\).
Później wystarczy zamienić tez ułamek na sumę ułamków prostych i rozwinąć ich w szeregi potęgowe i odczytać ciąg \(\displaystyle{ a_n}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 67
- Rejestracja: 13 maja 2013, o 18:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 37 razy
Funkcja tworząca - jawny wzór na n-ty wyraz ciągu
No dobrze, ale co z tymi dwójkami przy tym szeregu? Dlaczego one zniknęły?