udowodnić kombinatorycznie tożsamość

[johnny1591]

Witam,
mam problem z udowodnieniem poniższej tożsamości.


\(\displaystyle{ \sum_{k=m}^{n} {k \choose r} = {n+1 \choose r+1} - {m \choose r+1}}\)


Proszę o wskażówki i pomoc przy rozwiązaniu.

[Medea 2]

Ustaw \(\displaystyle{ n+1}\) batoników jeden za drugi i obiecaj sobie, że zjesz \(\displaystyle{ r+1}\) z nich, ale nie chcesz, żeby wszystkie zjedzone miały numery od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ m}\), bo byłoby to nie w porządku. To jest prawa strona.

Co mówi lewa?

[johnny1591]

Wydaje mi się, że wybieramy sobie ostatni batonik do zjedzenia, który miał \(\displaystyle{ k +1}\) numerek.
Teraz zostaje mi \(\displaystyle{ k}\) batoników wcześniejszych jeden za drugim, które chcę zjeść i zliczam po wszystkich możliwych miejscach względem położenia ostatniego batonika ?