rozwiązania równania - metoda włączeń i wyłączeń

[johnny1591]

Witam mam problem z zadaniem


Ile jest rozwiazań równania w nieujemnych liczbach całkowitych \(\displaystyle{ x_1 + x_2 + \ldots + x_{10} + x_{11} = 300}\),
przy czym
\(\displaystyle{ 0 \le x_i \le 9}\) dla \(\displaystyle{ i = 1, \ldots, 10}\).

Problem pojawia się w tym, jak to obliczyć metodą włączeń i wyłączeń. W przypadku, gdy wszystkie miały by być całkowite nieujemne, to zadanie umiem zrobić, ale tu nie za bardzo wiem jak to oznaczyć i policzyć i nie ma informacji o tym ostatnim . Proszę o pomoc.

[Medea 2]

Ustal, ile to jest \(\displaystyle{ 210 \le x_{11} \le 300}\). Czy teraz umiesz policzyć rozwiązania równania?

[johnny1591]

Myślałem właśnie w tym kierunku,
chciałem wprowadzić nową zmienną \(\displaystyle{ x_{11}' = x_{11} - 210}\) tak, aby

\(\displaystyle{ 0 \le x_{11}' \le 90}\)
Wtedy równanie zmieniłoby się na
\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + \ldots + x_{10} + x_{11}' = 90}\)
przy nowym założeniu dla\(\displaystyle{ x_{11}'}\).

Ale rozpatrując już zdarzenia przeciwne, czyli np.

\(\displaystyle{ A_1}\) - zbiór taki, że \(\displaystyle{ x_1 \ge 10}\)
...
\(\displaystyle{ A_{10}}\) - zbiór taki, że \(\displaystyle{ x_{10} \ge 10}\)
\(\displaystyle{ A_{11}}\) - zbiór taki, że \(\displaystyle{ x_{11}' \ge 91}\)
Dostaję problem taki, ze nie da się, aby ten ostatni element przyjął wartość 91.