Indukcja matematyczna

[kolasqq]

1. Stosując zasadę indukcji matematycznej wykazać, że dla \(\displaystyle{ n >1}\) zachodzi równość:
\(\displaystyle{ 1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+...+n\left(n+1 \right)=\frac{n\left( n+1\right)\left( n+2\right) }{3}}\)

2.Grupa \(\displaystyle{ 64}\) studentów pisała kolokwium składające się z pięciu zadań. Za każde zadanie można było otrzymać \(\displaystyle{ 0,1,2}\) lub \(\displaystyle{ 3}\) punkty. Pokazać, że co najmniej \(\displaystyle{ 4}\) z nich uzyskało taką samą sumaryczną liczbę punktów.

3.Ile jest sześcioliterowych ciągów zbudowanych z liter a ,b, c, d, e, f, w których:
a) nie pojawiają sie litery a, b, c, d
b) nie zmieniają się jeżeli będą czytane od końca
c) litera a występuje dokładnie \(\displaystyle{ 4}\) razy

4. Na ile sposobów z grupy \(\displaystyle{ 7}\) kobiet i \(\displaystyle{ 8}\) mężczyzn możemy wybrać delegację czteroosobową wraz w wyróżnionymi jedną kobietą i jednym mężczyzną?

[szachimat]

Ad 4
Jeżeli wyróżniona kobieta i wyróżniony mężczyzna mają znaleźć się w delegacji, to zostaje do wybrania dwie osoby spośród pozostałych trzynastu, a zatem odpowiedź to \(\displaystyle{ {13 \choose 2}}\).

[Medea 2]

Trzecie a: buduj słowa z liter \(\displaystyle{ e, f}\).
Trzecie b: wybierz trzy pierwsze litery, a następne trzy będą wyznaczone jednoznacznie.
Trzecie c: wybierz cztery miejsca, gdzie będzie występowała litera \(\displaystyle{ a}\) i przemnóż liczbę takich układów przez liczbę dwuliterowych słów zbudowanych z \(\displaystyle{ b,c,d,e}\) lub \(\displaystyle{ f}\).

[szachimat]

Ad 1 - za dużo pisania - to Ty pokaż, że się angażujesz i napisz chociaż tyle, ile umiesz.

[Althorion]

Ad 2.:
Liczba możliwych do uzyskania punktów zawiera się w zakresie \(\displaystyle{ [0; 15]}\) i jest całkowita, to nie więcej niż \(\displaystyle{ 16}\) możliwości. Jako że \(\displaystyle{ 3 \cdot 16 = 48 < 64}\), to zgodnie z zasadą szufladkową Dirichleta jakiś wynik musiał zostać osiągnięty co najmniej czterokrotnie.