Witam,
mam za zadanie znaleźć zwartą postać sumy, korzystając z metody zaburzania sumy. Mój przykład:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\left( 1+k \cdot 2^{k-1} \right)^{2}}\)
Znam schemat postępowania, jednak szukając drugiej postaci sumy \(\displaystyle{ s_{n+1}}\) nie bardzo wiem, jak pozbyć się kwadratu. Zapewne mam lukę w swojej wiedzy na temat sumowania. Czy mogłabym prosić o wskazówkę, jak sobie z tym przykładem poradzić?
Zaburzanie sumy
-
LunaRiddle
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 7 wrz 2011, o 18:06
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Ozorków
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Zaburzanie sumy
Możesz spróbować rozwinąć ten kwadrat ze wzoru skróconego mnożenia
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\left( 1+k \cdot 2^{k-1} \right)^{2}\\
=\sum_{k=1}^{n}\left( 1+2k \cdot 2^{k-1}+k^2\left( 2^{k-1}\right)^2 \right) \\
=\sum_{k=1}^{n}\left( 1+k \cdot 2^{k}+k^2 \cdot 2^{2k-2}\right)\\
=\sum_{k=1}^{n}\left( 1+k \cdot 2^{k}+\frac{1}{4} \cdot k^2 \cdot 2^{2k}\right)\\
=\sum_{k=1}^{n}\left( 1\right) +\sum_{k=1}^{n}\left( k \cdot 2^{k}\right)+ \frac{1}{4}\left(\sum_{k=1}^{n}\left( k^2 \cdot 4^{k}\right) \right) \\}\)
Zaburzasz te trzy sumy osobno
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\left( 1+k \cdot 2^{k-1} \right)^{2}\\
=\sum_{k=1}^{n}\left( 1+2k \cdot 2^{k-1}+k^2\left( 2^{k-1}\right)^2 \right) \\
=\sum_{k=1}^{n}\left( 1+k \cdot 2^{k}+k^2 \cdot 2^{2k-2}\right)\\
=\sum_{k=1}^{n}\left( 1+k \cdot 2^{k}+\frac{1}{4} \cdot k^2 \cdot 2^{2k}\right)\\
=\sum_{k=1}^{n}\left( 1\right) +\sum_{k=1}^{n}\left( k \cdot 2^{k}\right)+ \frac{1}{4}\left(\sum_{k=1}^{n}\left( k^2 \cdot 4^{k}\right) \right) \\}\)
Zaburzasz te trzy sumy osobno