rownanie rekurencyjne

[robertos18]

Znalezc wzór jawny ciągu \(\displaystyle{ (a _{n})}\) spełniajacego następujace równanie rekurencyjne:

\(\displaystyle{ a _{n+1}-2a _{n}=n ^{2}+n+2}\), \(\displaystyle{ a _{0}=0}\)

[robertm19]

Zaczynamy od podstawienia do równania jednorodnego \(\displaystyle{ a_n=r^n}\) i wyliczamy r.

[robertos18]

Tylko co zrobic z prawą strona?

[robertm19]

Równanie jednorodne to znaczy \(\displaystyle{ a _{n+1}-2a _{n}=0}\)

[robertos18]

\(\displaystyle{ r=2}\)?? Jesli tak to co dalej...

[robertm19]

Czyli rozwiązanie jednorodne \(\displaystyle{ a_n=C\cdot 2^n}\).

Rozwiązanie niejednorodne czy \(\displaystyle{ a _{n+1}-2a _{n}=n ^{2}+n+2}\) wyznaczamy metodą przewidywania.
\(\displaystyle{ a_n=an^2+bn+c}\), wyznaczamy a,b,c

[robertos18]

Niestety nie wiem jak mam je wyznaczyc..

[robertm19]

Podstawiając \(\displaystyle{ a_{n+1}=a(n+1)^2+b(n+1)+c}\).

[robertos18]

Aby wyznaczy te \(\displaystyle{ a _{n}}\) musze obliczyc \(\displaystyle{ b _{n}}\) i \(\displaystyle{ c _{n}}\)

\(\displaystyle{ a _{n}=b _{n} +c _{n}}\)

\(\displaystyle{ b _{n}}\) to układ jednorodny \(\displaystyle{ b _{n}=C \cdot 2 ^{n}}\)

\(\displaystyle{ c _{n}= \alpha _{3} n ^{3} +\alpha _{2} n ^{2}+\alpha _{1} n ^{1}+ \alpha _{0}}\)
\(\displaystyle{ c _{n+1}-2c _{n}=n ^{2}+n-2}\)

\(\displaystyle{ \alpha _{3}(n+1) ^{3} +\alpha _{2}(n+1) ^{2}+\alpha _{1}(n+1)+\alpha _{0}(n+1) -2\left[\alpha _{3} n ^{3} +\alpha _{2} n ^{2}+\alpha _{1} n ^{1}+ \alpha _{0} \right]=n ^{2}+n-2}\)
Dalej robie te dodawania i mnozenia itp i wyliczam \(\displaystyle{ \alpha}\) i wstawiam do \(\displaystyle{ a_{n}}\)
O to chodzi? I jak potem wyliczć te \(\displaystyle{ C}\)

[robertm19]

Jak wyznaczysz , to C wyznaczasz na końcu. Nie ma sensu badanie wielomianu 3 stopnia.

[robertos18]

Czyli za \(\displaystyle{ c _{n}}\) mozna brac zawsze wielomian tego samego stopnia?

[Mariusz M]

Nie zawsze, lepiej rozwiązuj takie równania z użyciem funkcji tworzących
Wtedy więcej widać