Wzór rekurencyjny, funkcja tworząca

[Karo92lina]

Cześć wszystkim,
potrzebuję pomocy w zadaniu :

Dany jest trójkąt równoboczny
którego wszystkie trzy wierzchołki należy pokolorowac. Dwa kolorowania uwazamy
za jednakowe, jesli mozemy jedno z nich otrzymac z drugiego za pomoca
odpowiedniego obrotu trójkąta.
Ile jest róznych sposobów pokolorowania wierzchołków naszego trójkata
przy uzyciu niektórych badz wszystkich sposród danych k kolorów?

Wiem, że \(\displaystyle{ A _{0}= 0; A _{1}= 1; A_{k} = A_{k-1} + k^{2} - k + 1}\) powinnam otrzymać ten wzór ale nie wiem w jaki sposób został on uzyskany.

[Medea 2]

Nie zgadza się już dla dwóch kolorów - są cztery kolorowania (\(\displaystyle{ 0, 1,2}\) lub \(\displaystyle{ 3}\) wierzchołki są pierwszego koloru, reszta drugiego). Twój wzór daje pięć.

Moim zdaniem odpowiedź powinna brzmieć \(\displaystyle{ n(n+1)(n+2) / 6}\), wtedy funkcja tworząca to \(\displaystyle{ x (1 - x)^{-4}.}\)

[Karo92lina]

Dzięki za zainteresowanie moim tematem

mi się wydaje, że to tak powinno wyglądać:

\(\displaystyle{ A _{0}= 0; A _{1}= 1; A_{k} = A_{k-1} + k^{2} - k + 1}\)

\(\displaystyle{ A_{k} - A_{k-1} = k^{2} - k + 1}\)

\(\displaystyle{ A_n-A_0= \sum_{k=1}^n(k^{2} - k + 1)}\)

\(\displaystyle{ A_n-A_0= \sum_{k=1}^n(k^{2} - k + 1)= \sum_{k=1}^nk^{2} - \sum_{k=1}^nk +\sum_{k=1}^n1=\\ = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} - \frac{k(k+1)}{2} +k}\)

\(\displaystyle{ F_{k}= \frac{1}{3} \cdot k(k^{2} + 2)}\)

tylko nie wiem czy to jest poprawnie i skąd to się wzięło