Suma oczek mniejsza od 10

[MathMaster]

Witam

Mam takie zadanie

Na ile sposobów można wyrzucić 3 kostki tak, aby łączna suma oczek była
mniejsza od 10, jeśli wiadomo.
a) kolejność wyrzutu nie ma znaczenia
b) kolejność ma znaczenie

Jest na to jakiś inny sposób niż wypisanie wszystkich możliwości i zaznaczenie sum które pasują?
Bo w taki sposób to będę robił to zadanie z pół godziny.

Z góry dziękuję za pomoc

[Medea 2]

Pół godziny? Zdarzenie przeciwne sobie rozpisz.

Kod: Zaznacz cały

10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2
10 = 5 + 4 + 1 = 5 + 3 +2 
10 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3
11 = 6 + 4 + 1 = 6 + 3 + 2
11 = 5 + 5 + 1 = 5 + 4 + 2 = 5 + 3 + 3
11 = 4 + 4 + 3
12 = 6 + 5 + 1 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
12 = 5 + 5 + 2 = 5 + 4 + 3
12 = 4 + 4 + 4

Wypisywałam ze stoperem w tle, dwie minuty siedemnaście sekund.

[MathMaster]

Ok no to prosił bym o sprawdzenie

a)
Okej czyli mamy wszystkie kombinacje, które podałaś jest ich 18 i odejmujemy od Omegi, czyli wszystkich możliwych 3-elementowych kombinacji ze zbioru 6-elementowego.

\(\displaystyle{ \left| \Omega\right|= {3+6-1 \choose 3}= {8 \choose 3}=28}\)
\(\displaystyle{ 28-18=10}\)
Czyli wychodzi, że kombinacji takich gdzie suma oczek jest mniejsza od 10 jest 10, czyli jest ich mniej niż większych równych 10, trochę to dziwne.

b)
Okej teraz te 18 kombinacji trzeba odpowiednio spermutować i odjąć od omegi.
Jest 9 o wszystkich różnych elementach, 8 o 2 dwóch takich samych oraz jeden z takimi samymi

\(\displaystyle{ \left| \Omega\right|=6^{3}=216}\)
\(\displaystyle{ 216 -(9 \cdot 3!+8 \cdot \frac{3!}{2!}+1)=137}\)

Tak z ciekawości policzyłem prawdopodobieństwa tych zdarzeń
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{10}{28} \approx 0,36 \neq P(B) = \frac{137}{218} \approx 0,63}\)

Nie powinny być one przypadkiem równe?

[Medea 2]

Nie widzę powodu, dla którego miałyby być równe. Rozważ takie doświadczenie: rzucamy dwoma monetami, rozróżnialnymi lub nie. Jaka jest szansa na dwa orły? \(\displaystyle{ 1/4}\) lub \(\displaystyle{ 1/3}\) (chociaż akurat rzucając dwoma monetami drugi model jest bez sensu, bo monety zawsze można rozróżnić).

Wybacz! Coś mi się pomieszało i przez chwilę myślałam, że na trzech kostkach można wyrzucić tylko sumy do dwunastki...

Podam Ci wartości liczbowe, bo policzyłeś to częściowo źle. Moc omegi dla nierozróżnialnych to \(\displaystyle{ 56}\), dla rozróżnialnych \(\displaystyle{ 216}\). Sprzyjających wyników jest \(\displaystyle{ 34}\) lub \(\displaystyle{ 135}\)...

Na koniec wskazówka, żebyś nie wypisywał prawie niczego: \(\displaystyle{ 1 = P(\Sigma < 10) + P(\Sigma= 10) + P( \Sigma > 10)}\), gdzie \(\displaystyle{ \Sigma}\) to suma wyrzuconych oczek.

Kod: Zaznacz cały

(* Mathematica *)
Needs["Combinatorica`"]
Flatten[Map[Select[Partitions[#, 6], Length[#] == 3 &] &, 
   Range[3, 18]], 1] // Length
Flatten[Map[Permutations, 
   Flatten[Map[Select[Partitions[#, 6], Length[#] == 3 &] &, 
     Range[3, 18]], 1]], 1] // Length

[MathMaster]

Ok, dzięki wszystko jasne