Ukryta treść:
Tożsamość Li-Żen-Szua
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11406
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Tożsamość Li-Żen-Szua
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{k} {k \choose j}^2 {n+2k-j \choose 2k}= {n+k \choose k}^2}\)
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Tożsamość Li-Żen-Szua
Dowodzi się ją stosując trzy kluczowe wzorki:
I:
\(\displaystyle{ \sum_{j=s}^{k} {k \choose j}^2 {j \choose s}= {k \choose s} {2k-s \choose k}}\)
II:
\(\displaystyle{ {n+2k-j \choose n} {2k-j \choose k}= {n+2k-j \choose n+k} {n+k \choose k}}\)
III:
\(\displaystyle{ \sum_{s=0}^{m}(-1)^s {n \choose s}=(-1)^m {n-1 \choose m}}\)
I:
\(\displaystyle{ \sum_{j=s}^{k} {k \choose j}^2 {j \choose s}= {k \choose s} {2k-s \choose k}}\)
II:
\(\displaystyle{ {n+2k-j \choose n} {2k-j \choose k}= {n+2k-j \choose n+k} {n+k \choose k}}\)
III:
\(\displaystyle{ \sum_{s=0}^{m}(-1)^s {n \choose s}=(-1)^m {n-1 \choose m}}\)