Rozwiązanie rekurencji

[pawel112]

Witam.
Mam problem z rozwiązaniem rekurencji:
\(\displaystyle{ a_{n+2} = 3a_{n+1} + 4a_{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ n \ge 0}\), \(\displaystyle{ a_{0}=2}\), \(\displaystyle{ a_{1}=3}\).

Dotąd udało mi się napisać (nie wiem czy dobrze)
\(\displaystyle{ f(x)= \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} = a_{0} x^{0} + a_{1} x^{1} + \sum_{n=2}^{\infty} = 2 + 3x + \sum_{n=0}^{\infty} a_{n+2} x^{n+2} = 2 + 3x + \sum_{n=0}^{\infty} (3a_{n}+4{a_n})x^{n+2} = 2+3x+2 \sum_{n=0}^{\infty} (a_{n+1} x^{n+2}) = 2+3x+3x \sum_{n=0}^{\infty} (a_{n+1}x^{n+1})+3x \sum_{n=0}^{\infty} (a_{n+1}x^{n+1})+4x^2 \sum_{n=0}^{\infty} (a_{n} x^{n})}\).

Prosiłbym o sprawdzenie i wyjaśnienie krok po kroku, żebym mógł zobaczyć jak wzorcowo powinno się to robić .

[Premislav]

A to nie prościej pojechać równaniem charakterystycznym? \(\displaystyle{ t^{2}-3t-4=0}\), pierwiastki
\(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 4}\), więc szukamy rozwiązania postaci \(\displaystyle{ a_{n}=\alpha(-1)^{n}+\beta4^{n}}\), tworzymy układ równań na \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\), korzystając z podanych warunków początkowych i po herbacie.
Metoda funkcji tworzących jest tu moim zdaniem mniej wygodna, ale może to kwestia gustu.

Można też trochę inaczej: dodajmy do obydwu stron równania \(\displaystyle{ a_{n+1}}\), a wtedy otrzymamy, że \(\displaystyle{ a_{n+1}+a_{n+2}=4(a_{n+1}+a_{n})}\).
Teraz niech \(\displaystyle{ b_{n}=a_{n+1}+a_{n}}\). Wtedy zgodnie z powyższym mamy \(\displaystyle{ b_{n+1}=4b_{n}}\), więc \(\displaystyle{ (b_{n})_{n \in \NN}}\) jest ciągiem geometrycznym. Łatwo znaleźć jego ogólną postać, a następnie wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ a_{n+2}-a_{n}=b_{n+1}-b_{n}}\) i coś tam, coś tam.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ a_{n+2} = 3a_{n+1} + 4a_{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ n \ge 0}\), \(\displaystyle{ a_{0}=2}\), \(\displaystyle{ a_{1}=3}\).

Z funkcji tworzących więcej widać
Co gdyby miał pierwiastek wielokrotny albo równanie niejednorodne ?


Ja przesunąłbym najpierw indeksy tej rekurencji

\(\displaystyle{ a_{n}=3a_{n-1}+4a_{n-2}\qquad n\ge 2\qquad a_{0}=2\\a_{1}=3\\
A\left( x\right)=\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^n}= \sum_{n=2}^{ \infty }{3a_{n-1}x^{n}}+ \sum_{n=2}^{ \infty }{4a_{n-2}x^{n}}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n}-3x-2=3x\left( \sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-1}x^{n-1}} \right) +4x^2\left( \sum_{n=2}^{ \infty }a_{n-2}x^{n-2} \right) \\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n}-3x-2=3x\left( \sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \right) +4x^2\left( \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n} \right) \\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n}-3x-2=3x\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} -2\right) +4x^2\left( \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n} \right) \\
A\left( x\right)-3x-2=3x\left( A\left( x\right)-2 \right)+4x^2A\left( x\right) \\
A\left( x\right)-3x-2=3xA\left( x\right)-6x+4x^2A\left( x\right)\\
A\left( x\right)\left( 1-3x-4x^2\right)=-3x+2\\
A\left( x\right)=\frac{-3x+2}{\left( 1-4x\right)\left( 1+x\right) }\\
A\left( x\right)=\frac{P}{1-4x}+\frac{Q}{1+x}\\
P\left( 1+x\right)+Q\left( 1-4x\right)=-3x+2\\
\begin{cases} P+Q=2 \\ P-4Q=-3 \end{cases} \\
\begin{cases} P=2-Q \\ 5Q=5 \end{cases} \\
\begin{cases} P=1 \\ Q=1 \end{cases} \\
A\left( x\right)=\frac{1}{1-4x}+\frac{1}{1-\left(-x \right) }\\
A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{4^nx^n}+ \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( -1\right)^nx^n } \\
a_{n}=4^{n}+\left( -1\right)^{n}}\)