równanie rekurencyjne

[matteuszek]

wyprowadzić wzór na dowolny element bez rekurencji

\(\displaystyle{ a_{n+1}=2(n+1)a_{n}-15n-10 \\
a_{0}=6\\
n>=0}\)


robie to z przewidywań funkcji tworzącej
\(\displaystyle{ F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_{n}}{n!} x^{n}}\)

i po podstawieniu i moich obliczeniach wychodzi:
\(\displaystyle{ F(x)=\frac{1-16x+5e^{x}-xe^{x}}{1-2x}}\)

wiecie może jak to dokończyć? Albo może jakoś inaczej przewidzieć inna funkcja tworzącą?

[max]

Coś Ci chyba niezbyt ta funkcja tworząca wyszła:
\(\displaystyle{ F(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{a_{n}}{n!}x^{n} = a_{0} + \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{a_{n + 1}}{(n + 1)!}x^{n + 1} =\\
= 6 + x\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{2(n + 1)a_{n} - 15n - 10}{(n + 1)!}x^{n} =\\
= 6 + 2x\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{a_{n}}{n!}x^{n} - 15x\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} + 5\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} - 5 = \\
= 1 + 2xF(x) - 15xe^{x} + 5e^{x}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ F(x) = \frac{1 + 5e^{x}(1 - 3x)}{1 - 2x} = \frac{1}{1 - 2x} + 5e^{x}\left(\frac{3}{2} - \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1 - 2x}\right) =\\ =\frac{1}{1 - 2x} + \frac{15}{2}e^{x} - \frac{5}{2}\cdot \frac{e^{x}}{1 - 2x}\right)=\\ =\sum_{n = 0}^{\infty}2^{n}x^{n} + \frac{15}{2}\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} - \frac{5}{2}\sum_{n = 0}^{\infty}\sum_{k = 0}^{n}\frac{2^{k}}{(n - k)!}x^{n}}\)
A więc:
\(\displaystyle{ a_{n} = 2^{n}n! + \frac{15}{2} - \frac{5}{2}\sum_{k = 0}^{n}\frac{2^{k}n!}{(n - k)!} = \\ = 2^{n}n! + \tfrac{15}{2} - 5\sum_{k = 0}^{n} 2^{k - 1}n^{\underline{k}}}\)

Aczkolwiek doświadczenie pokazuje, iż nie umiem liczyć, więc sprawdź to jeszcze porządnie, bo ja już o tej porze nie myślę

(i pytaj o każdą niejasność)

Pozdrawiam

[matteuszek]

ten wzór na an działa:
\(\displaystyle{ a_{n} = 2^{n}n! + \frac{15}{2} - \frac{5}{2}\sum_{k = 0}^{n}\frac{2^{k}n!}{(n - k)!}}\)
późniejsze przekształcenie chyba jest złe(mi nie wychodziło)

[max]

Fajnie, że działa (sprawdzałeś indukcją?).

późniejsze przekształcenie chyba jest złe(mi nie wychodziło)

Jest ok, bo to w zasadzie przekształcenie jedynie kosmetyczne, tzn:
\(\displaystyle{ n^{\underline{k}} = n\cdot (n - 1)\cdot \ldots\cdot (n - k + 1) = \frac{n!}{(n - k)!}}\)
i jeszcze dwójka z mianownika powędrowała pod znak sumy..
Być może da się to jeszcze zwinąć, ale nie mam koncepcji.
...a tamto przekształcenie do sumy iterowanej to z postaci Cauchy'ego iloczynu szeregów potęgowych (mogę rozpisać jak chcesz).

[matteuszek]

To chyba ja nie znam tego:
\(\displaystyle{ n^{\underline{k}}}\)
nie miałem nigdy takiego podkreślenia, miałem tylko:
\(\displaystyle{ n^{k}}\)
Moja funkcja tworząca wyglądała inaczej bo sie w numeracji w jednym miejscu pomyliłem ale po korekcie z Twoim zadaniem poprawiłem.

A iloczyn Cauchy'ego znalazłem w necie i to właśnie tego iloczynu nie umiałem zrobić, ale już wiem jak sie to robi i skąd sie wzięło.

Dzięki za pomoc