Udowodnić tożsamość 2

[virnoy]

\(\displaystyle{ {n + m \choose k} = {n \choose 0}{m \choose k} + {n \choose 1}{m \choose k-1} + {n \choose 2}{m \choose k-2} + ... + {n \choose k}{m \choose 0}}\)
Juz poprawione, źle przepisałem

[Zahion]

Na pewno poprawnie napisana równość ? Trzeci składnik sumy ?

[a4karo]

Policz współczynik przy \(\displaystyle{ x^k}\) w \(\displaystyle{ (x+1)^{m+n}}\) i w \(\displaystyle{ (x+1)^m(x+1)^n}\) (wiem, że to to samo, ale działa

[virnoy]

Jak zwykle moge liczy c na pomoc!!

[Vax]

Ewentualnie można ułożyć bajkę. Mamy \(\displaystyle{ n}\) chłopców i \(\displaystyle{ m}\) dziewczyn, chcemy wybrać drużynę składającą się z \(\displaystyle{ k}\) osób, na ile sposobów możemy to zrobić? Z jednej strony jest to po prostu \(\displaystyle{ {n+m \choose k}}\). Z drugiej strony możemy zsumować liczbę takich drużyn w których jest \(\displaystyle{ 0, 1, 2, ..., k}\) chłopców, suma ta wynosi (gdy bierzemy \(\displaystyle{ i}\) chłopców musimy dobrać \(\displaystyle{ k-i}\) dziewczyn):

\(\displaystyle{ {n \choose 0}{m \choose k} + {n \choose 1}{m \choose k-1} + ... + {n \choose k}{m \choose 0}}\)

Skąd wynika teza.