Liczba dziesięciocyfrowa

[takanator]

Oblicz ile jest dziesięciocyfrowych liczb o różnych cyfrach i takich że cyfry parzyste występują w porządku rosnącym, a cyfry nieparzyste w porządku malejącym.

Wynik to \(\displaystyle{ {9\choose 4}}\) ale nie wiem dlaczego tam. Ktoś mi wytłumaczy?

[macik1423]

Takie liczby muszą się zaczynać cyfrą \(\displaystyle{ 9}\). Potem obsadzamy cztery miejsca z dziewięciu dla pozostałych liczb nieparzystych takich ustawień będzie \(\displaystyle{ C_{9}^{4}}\) a na pozostałych miejscach wpiszemy liczby parzyste, dla każdych ustawień liczb nieparzystych możliwość wpisania liczb parzystych jest tylko jedna, bo muszą być ustawione w ustalonym porządku rosnącym.

[szachimat]

Koncentrując swój wzrok tylko na liczbach parzystych, widzimy je w każdej takiej liczbie, od strony lewej do prawej, jako 0,2,4,6,8. Jeśli chodzi o nieparzyste, to widzimy kolejno 9,7,5,3,1.
A zatem, tak jak napisał macik1423, musimy zacząć pisać daną liczbę od cyfry \(\displaystyle{ 9}\), gdyż \(\displaystyle{ 0}\) nie może stać na pierwszym miejscu.
Czyli mając do dyspozycji dziewięć miejsc umieszczamy tam pięć cyfr parzystych, albo cztery nieparzyste (nie ma znaczenia które, bo i tak wszystkie układy dalej zostaną uwzględnione). W pozostałe wolne miejsca dopisujemy według schematu z treści te, które zostały (takie dopisanie nie wpływa na ilość).
Ponieważ \(\displaystyle{ {9 \choose 5}= {9 \choose 4}}\), to oba te wzory mogą być zapisane w odpowiedzi.