Ile jest permutacji w zbiorze \(\displaystyle{ S_{6}}\) , które składają się z trzech cykli.
Z góry dzięki za odpowiedź.
Liczba permutacji
-
- Użytkownik
- Posty: 1384
- Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 268 razy
Liczba permutacji
Zadam głupie pytanie Czy cykl może być jednoelementowy??
W sensie czy np \(\displaystyle{ (1)}\) uznajemy za cykl?
W sensie czy np \(\displaystyle{ (1)}\) uznajemy za cykl?
-
- Użytkownik
- Posty: 1384
- Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 268 razy
Liczba permutacji
Nie dlatego, że wtedy byłby jeszcze czwarty cykl rzędu 3..
Musisz posumować przypadki:
1 cykl rzędu 4 + 2 cykle rzędu 1
1 cykl rzędu 3 + cykl rzędu 2 + cykl rzędu 1
3 cykle rzędu 2
Czyli tak:
\(\displaystyle{ {6\choose 4}}\) - tyle jest cykli rzędu 4.. Dwa pozostałe elementy są stałe
\(\displaystyle{ {6 \choose 3}\cdot {3 \choose 2}}\) To byłby drugi przypadek..
\(\displaystyle{ {6 \choose 2} \cdot {4 \choose 2}}\) - i ostatni..
Jakieś pominąłem??
Musisz posumować przypadki:
1 cykl rzędu 4 + 2 cykle rzędu 1
1 cykl rzędu 3 + cykl rzędu 2 + cykl rzędu 1
3 cykle rzędu 2
Czyli tak:
\(\displaystyle{ {6\choose 4}}\) - tyle jest cykli rzędu 4.. Dwa pozostałe elementy są stałe
\(\displaystyle{ {6 \choose 3}\cdot {3 \choose 2}}\) To byłby drugi przypadek..
\(\displaystyle{ {6 \choose 2} \cdot {4 \choose 2}}\) - i ostatni..
Jakieś pominąłem??
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Liczba permutacji
Prawidłowo jest to liczba permutacji sześcioelementowej o dokładnie trzech cyklach czyli:
\(\displaystyle{ C(6,3)}\)
\(\displaystyle{ C(n,0)=1, dla, n=0}\)
\(\displaystyle{ C(n,0)=0, dla, n>0}\)
\(\displaystyle{ C(n,k)=C(n-1,k-1)+(n-1)C(n-1,k)}\)
\(\displaystyle{ C(6,3)=C(5,2)+5 \cdot C(5,3)=C(4,1)+4C(4,2)+5 \cdot C(5,3)}\)
\(\displaystyle{ C(4,1)=C(3,0)+3 \cdot C(3,1)=3 \cdot\left( C(2,0)+2 \cdot C(2,1)\right) =6 \cdot C(2,1)=6\left( C(1,1)+C(2,0)\right) =6\left( C(0,0)+0 \cdot C(1,0)+0\right) =6 \cdot 1=6}\)
Podobnie:
\(\displaystyle{ C(4,2)=11}\)
\(\displaystyle{ C(5,3)=C(4,2)+4 \cdot C(4,3)=11+4 \cdot C(4,3)}\)
\(\displaystyle{ C(4,3)=C(3,2)+3 \cdot C(3,3)}\)
\(\displaystyle{ C(3,2)=C(2,1)+2 \cdot C(2,2)=1+2 \cdot 1=3}\)
\(\displaystyle{ C(3,3)=1}\)
\(\displaystyle{ C(4,3)=3+3 \cdot 1=6}\)
\(\displaystyle{ C(5,3)=11+4 \cdot 6=11+24=35}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ C(6,3)=6+4 \cdot 11+5 \cdot 35=6+44+175=50+175=225}\)
\(\displaystyle{ C(6,3)=225}\)
Mostostalek Tobie wyszło:
\(\displaystyle{ 165}\) za mało!
Bo cykli o danej długości \(\displaystyle{ n}\) może być \(\displaystyle{ (n-1)!}\)
\(\displaystyle{ C(6,3)}\)
\(\displaystyle{ C(n,0)=1, dla, n=0}\)
\(\displaystyle{ C(n,0)=0, dla, n>0}\)
\(\displaystyle{ C(n,k)=C(n-1,k-1)+(n-1)C(n-1,k)}\)
\(\displaystyle{ C(6,3)=C(5,2)+5 \cdot C(5,3)=C(4,1)+4C(4,2)+5 \cdot C(5,3)}\)
\(\displaystyle{ C(4,1)=C(3,0)+3 \cdot C(3,1)=3 \cdot\left( C(2,0)+2 \cdot C(2,1)\right) =6 \cdot C(2,1)=6\left( C(1,1)+C(2,0)\right) =6\left( C(0,0)+0 \cdot C(1,0)+0\right) =6 \cdot 1=6}\)
Podobnie:
\(\displaystyle{ C(4,2)=11}\)
\(\displaystyle{ C(5,3)=C(4,2)+4 \cdot C(4,3)=11+4 \cdot C(4,3)}\)
\(\displaystyle{ C(4,3)=C(3,2)+3 \cdot C(3,3)}\)
\(\displaystyle{ C(3,2)=C(2,1)+2 \cdot C(2,2)=1+2 \cdot 1=3}\)
\(\displaystyle{ C(3,3)=1}\)
\(\displaystyle{ C(4,3)=3+3 \cdot 1=6}\)
\(\displaystyle{ C(5,3)=11+4 \cdot 6=11+24=35}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ C(6,3)=6+4 \cdot 11+5 \cdot 35=6+44+175=50+175=225}\)
\(\displaystyle{ C(6,3)=225}\)
Mostostalek Tobie wyszło:
\(\displaystyle{ 165}\) za mało!
Bo cykli o danej długości \(\displaystyle{ n}\) może być \(\displaystyle{ (n-1)!}\)