Liczba permutacji

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
ludozyad
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 4 kwie 2015, o 22:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 5 razy

Liczba permutacji

Post autor: ludozyad »

Ile jest permutacji w zbiorze \(\displaystyle{ S_{6}}\) , które składają się z trzech cykli.
Z góry dzięki za odpowiedź.
mostostalek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1384
Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 268 razy

Liczba permutacji

Post autor: mostostalek »

Zadam głupie pytanie Czy cykl może być jednoelementowy??
W sensie czy np \(\displaystyle{ (1)}\) uznajemy za cykl?
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Liczba permutacji

Post autor: arek1357 »

Może!
ludozyad
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 4 kwie 2015, o 22:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 5 razy

Liczba permutacji

Post autor: ludozyad »

Czyli mam to rozważyć jako permutacje z trzema punktami stałymi?
mostostalek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1384
Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 268 razy

Liczba permutacji

Post autor: mostostalek »

Nie dlatego, że wtedy byłby jeszcze czwarty cykl rzędu 3..

Musisz posumować przypadki:
1 cykl rzędu 4 + 2 cykle rzędu 1
1 cykl rzędu 3 + cykl rzędu 2 + cykl rzędu 1
3 cykle rzędu 2

Czyli tak:
\(\displaystyle{ {6\choose 4}}\) - tyle jest cykli rzędu 4.. Dwa pozostałe elementy są stałe

\(\displaystyle{ {6 \choose 3}\cdot {3 \choose 2}}\) To byłby drugi przypadek..

\(\displaystyle{ {6 \choose 2} \cdot {4 \choose 2}}\) - i ostatni..

Jakieś pominąłem??
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Liczba permutacji

Post autor: arek1357 »

Prawidłowo jest to liczba permutacji sześcioelementowej o dokładnie trzech cyklach czyli:

\(\displaystyle{ C(6,3)}\)

\(\displaystyle{ C(n,0)=1, dla, n=0}\)

\(\displaystyle{ C(n,0)=0, dla, n>0}\)

\(\displaystyle{ C(n,k)=C(n-1,k-1)+(n-1)C(n-1,k)}\)


\(\displaystyle{ C(6,3)=C(5,2)+5 \cdot C(5,3)=C(4,1)+4C(4,2)+5 \cdot C(5,3)}\)

\(\displaystyle{ C(4,1)=C(3,0)+3 \cdot C(3,1)=3 \cdot\left( C(2,0)+2 \cdot C(2,1)\right) =6 \cdot C(2,1)=6\left( C(1,1)+C(2,0)\right) =6\left( C(0,0)+0 \cdot C(1,0)+0\right) =6 \cdot 1=6}\)

Podobnie:

\(\displaystyle{ C(4,2)=11}\)

\(\displaystyle{ C(5,3)=C(4,2)+4 \cdot C(4,3)=11+4 \cdot C(4,3)}\)

\(\displaystyle{ C(4,3)=C(3,2)+3 \cdot C(3,3)}\)

\(\displaystyle{ C(3,2)=C(2,1)+2 \cdot C(2,2)=1+2 \cdot 1=3}\)

\(\displaystyle{ C(3,3)=1}\)

\(\displaystyle{ C(4,3)=3+3 \cdot 1=6}\)

\(\displaystyle{ C(5,3)=11+4 \cdot 6=11+24=35}\)

Ostatecznie:

\(\displaystyle{ C(6,3)=6+4 \cdot 11+5 \cdot 35=6+44+175=50+175=225}\)

\(\displaystyle{ C(6,3)=225}\)


Mostostalek Tobie wyszło:

\(\displaystyle{ 165}\) za mało!

Bo cykli o danej długości \(\displaystyle{ n}\) może być \(\displaystyle{ (n-1)!}\)
ODPOWIEDZ