Obliczyć działanie w ciele liczb

[ralph994]

W ciele \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{41}}\) oblicz : \(\displaystyle{ 21^{-3} +35 \cdot 3^{-2}}\)

Proszę o pomoc.

[mostostalek]

\(\displaystyle{ 21^{-3}=2^3=8}\)
bo \(\displaystyle{ 21 \cdot 2=42 \equiv 1 \pmod{41}}\)

\(\displaystyle{ 3^{-2}=14^2=32}\)
bo \(\displaystyle{ 3\cdot14=42 \equiv 1 \pmod{41}}\)
oraz \(\displaystyle{ 14^2=196 \equiv 32 \pmod{41}}\)

\(\displaystyle{ 8+35 \cdot 32=8+13=21}\)

bo \(\displaystyle{ 35 \cdot 32=1120 \equiv 13 \pmod{41}}\)

można też nie liczyć tak dużych liczb zauważając, że:
\(\displaystyle{ 35=-6}\) oraz \(\displaystyle{ 32=-9}\) w \(\displaystyle{ Z_{41}}\)

oraz
\(\displaystyle{ -6 \cdot (-9)=54 \equiv 13 \pmod{41}}\)

[ralph994]

Powrót do zadania. Jak postępuje gdy mam ciało \(\displaystyle{ Z _{37}}\) ? Ogółem chodzi mi o liczbę nieparzystą. Proszę o pomoc

[mostostalek]

Identycznie jak w przypadku \(\displaystyle{ Z_{41}}\)
Dodawanie i mnożenie modulo 37 w tym przypadku..

\(\displaystyle{ -a}\) oznacza element odwrotny względem dodawania, który w tym przypadku wynosi \(\displaystyle{ 37-a}\)

\(\displaystyle{ a^{-1}}\) oznacza element odwrotny względem mnożenia.. Tutaj już nie ma tak prostego przepisu.. Chodzi bowiem o to by, \(\displaystyle{ a^{-1} \cdot a \equiv 1 \pmod{37}}\)