Cześć ! Muszę posługując się twierdzeniem Eulera obliczyć resztę z dzielenia \(\displaystyle{ 7^{2014}}\) przez \(\displaystyle{ 18}\)
Kompletnie tego nie rozumiem, tego fi itp itd. Mógbły ktoś mi to jakoś wytłumaczyć? Byłbym bardzo wdzięczny
Pozdrawiam
Twierdzenie Eulera i reszta z dzielenia
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 24 lis 2014, o 16:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
Twierdzenie Eulera i reszta z dzielenia
\(\displaystyle{ \varphi (18 ) =18\cdot \left( 1-\frac{1}{3}\right)\cdot \left( 1-\frac{1}{2} \right)=6}\)
Zatem z Tw. Eulera wynika, że
Zatem z Tw. Eulera wynika, że
\(\displaystyle{ 7^6 \equiv 1 (\mbox{mod} 18 )}\)
więc\(\displaystyle{ 7^{2014} \equiv (7^6)^{335} \cdot 7^4 \equiv 7^4 (\mbox{mod} 18 )}\)
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5740
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 130 razy
- Pomógł: 525 razy
Twierdzenie Eulera i reszta z dzielenia
Zauważ, że:
\(\displaystyle{ (18,7)=1}\)
\(\displaystyle{ 7^{18}=1}\) w pierścieniu modulo osiemnaście
\(\displaystyle{ 7^{2014}=7^{1998+16}=7^{18 \cdot 111+16}=(7^{18})^{111} \cdot 7^{16}=1^{111} \cdot 7^{16}=1 \cdot 7^{16}=1 \cdot 7=7}\)
\(\displaystyle{ (18,7)=1}\)
\(\displaystyle{ 7^{18}=1}\) w pierścieniu modulo osiemnaście
\(\displaystyle{ 7^{2014}=7^{1998+16}=7^{18 \cdot 111+16}=(7^{18})^{111} \cdot 7^{16}=1^{111} \cdot 7^{16}=1 \cdot 7^{16}=1 \cdot 7=7}\)