Twierdzenie Eulera i reszta z dzielenia

[wodeczka94]

Cześć ! Muszę posługując się twierdzeniem Eulera obliczyć resztę z dzielenia \(\displaystyle{ 7^{2014}}\) przez \(\displaystyle{ 18}\)

Kompletnie tego nie rozumiem, tego fi itp itd. Mógbły ktoś mi to jakoś wytłumaczyć? Byłbym bardzo wdzięczny

Pozdrawiam

[kicaj]

\(\displaystyle{ \varphi (18 ) =18\cdot \left( 1-\frac{1}{3}\right)\cdot \left( 1-\frac{1}{2} \right)=6}\)
Zatem z Tw. Eulera wynika, że

\(\displaystyle{ 7^6 \equiv 1 (\mbox{mod} 18 )}\)

więc

\(\displaystyle{ 7^{2014} \equiv (7^6)^{335} \cdot 7^4 \equiv 7^4 (\mbox{mod} 18 )}\)

[arek1357]

Zauważ, że:

\(\displaystyle{ (18,7)=1}\)

\(\displaystyle{ 7^{18}=1}\) w pierścieniu modulo osiemnaście

\(\displaystyle{ 7^{2014}=7^{1998+16}=7^{18 \cdot 111+16}=(7^{18})^{111} \cdot 7^{16}=1^{111} \cdot 7^{16}=1 \cdot 7^{16}=1 \cdot 7=7}\)