Funkcje tworzace

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
ewciak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 18 paź 2014, o 13:10
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 13 razy

Funkcje tworzace

Post autor: ewciak »

Witam, mam problem z dwoma przykładami które muszę rozwiązać za pomocą funkcji tworzących, i zaczęłam jednak nie wiem jak skończyć:

a)\(\displaystyle{ a_n = a_{n-1}+1, \quad a_1=1}\)

\(\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=1}a_nx^n=x + x\sum_{n=1}a_nx^n + \sum_{n=2}x^n=xf(x)+\sum_{n=1}x^n=xf(x)+\frac{x}{1-x}}\)
Stąd otrzymuję
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{x}{(1-x)^2}}\).. i tu mam problem. Rozłożyć to na ułamki proste? A jeśli tak,to jak?

b)\(\displaystyle{ a_n = a_{n-1}+2, \quad a_1=1}\)
tutaj analogicznie dochodzę do momentu:
\(\displaystyle{ xf(x)+\frac{2}{1-x}-x}\)
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{2-x+x^2}{(1-x)^2}}\)

Co dalej?
kicaj

Funkcje tworzace

Post autor: kicaj »

a) \(\displaystyle{ a_n =a_{n-1} +1 \Leftrightarrow a_n -a_{n-1} =1 \Leftrightarrow a_n =a_1 + \sum_{k=2}^{n} (a_k -a_{k-1} ) =1 + \sum_{k=2}^{n} 1 =n}\)
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Funkcje tworzace

Post autor: Mariusz M »

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{x}{(1-x)^2}}\).. i tu mam problem. Rozłożyć to na ułamki proste?
Można też z pochodnej szeregu geometrycznego skorzystać

Co do b) czy aby na pewno dobrze funkcję tworzącą wyznaczyłaś(eś)

Ja jak miałem wprowadzaną funkcję tworzącą to po rozkładzie na sumę korzystano z dwumianu Newtona
ODPOWIEDZ