Witam, mam problem z dwoma przykładami które muszę rozwiązać za pomocą funkcji tworzących, i zaczęłam jednak nie wiem jak skończyć:
a)\(\displaystyle{ a_n = a_{n-1}+1, \quad a_1=1}\)
\(\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=1}a_nx^n=x + x\sum_{n=1}a_nx^n + \sum_{n=2}x^n=xf(x)+\sum_{n=1}x^n=xf(x)+\frac{x}{1-x}}\)
Stąd otrzymuję
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{x}{(1-x)^2}}\).. i tu mam problem. Rozłożyć to na ułamki proste? A jeśli tak,to jak?
b)\(\displaystyle{ a_n = a_{n-1}+2, \quad a_1=1}\)
tutaj analogicznie dochodzę do momentu:
\(\displaystyle{ xf(x)+\frac{2}{1-x}-x}\)
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{2-x+x^2}{(1-x)^2}}\)
Co dalej?
Funkcje tworzace
Funkcje tworzace
a) \(\displaystyle{ a_n =a_{n-1} +1 \Leftrightarrow a_n -a_{n-1} =1 \Leftrightarrow a_n =a_1 + \sum_{k=2}^{n} (a_k -a_{k-1} ) =1 + \sum_{k=2}^{n} 1 =n}\)
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6903
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Funkcje tworzace
Można też z pochodnej szeregu geometrycznego skorzystać\(\displaystyle{ f(x)=\frac{x}{(1-x)^2}}\).. i tu mam problem. Rozłożyć to na ułamki proste?
Co do b) czy aby na pewno dobrze funkcję tworzącą wyznaczyłaś(eś)
Ja jak miałem wprowadzaną funkcję tworzącą to po rozkładzie na sumę korzystano z dwumianu Newtona