rachunkowe udowodnianie tożsamości

[unn4m3nd]

Udowodnij następującą tożsamość
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} (-1)^i {m \choose i} {m-i \choose n-i} = 0}\)
gdzie \(\displaystyle{ 0 \le n \le m}\)

Doszedłem tylko do tego, że:
\(\displaystyle{ {m \choose i} {m-i \choose n-i} = {m \choose i} {n \choose i}}\)

Niestety nic więcej nie potrafię zdziałać... Proszę o pomoc.
Pozdr!

[kerajs]

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} (-1)^i {m \choose i} {m-i \choose n-i} = \sum_{i=0}^{n} (-1)^i \frac{m!}{i!(m-i)! } \frac{(m-i)!}{(n-i)!(m-n)!} = \sum_{i=0}^{n} (-1)^i \frac{m!}{i!(n-i)!(m-n)!} =\\=
\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \frac{m!}{i!(n-i)!(m-n)!} \cdot \frac{n!}{n!} =\frac{m!}{n!(m-n)!}\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \frac{n!}{i!(n-i)!} =\\=\frac{m!}{n!(m-n)!} \cdot (1-1)^n=\frac{m!}{n!(m-n)!} \cdot 0=0}\)

[unn4m3nd]

Dzięki wielkie, ale nie rozumiem jak tego przejścia
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} (-1)^i \frac{n!}{i!(n-i)!} = (1-1)^n}\)
wiem że to pierwsze to symbol \(\displaystyle{ {n \choose i}}\) ale dalej tego nie widzę

[Jan Kraszewski]

To rozpisz \(\displaystyle{ (1-1)^n}\) z dwumianu Newtona.

JK

[kerajs]

Warto też wiedzieć że:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} \frac{n!}{i!(n-i)!} = (1+1)^n=2^n}\)

Rozszerzyłbym sugestię p.Jan Kraszewski, do ćwiczeń:
\(\displaystyle{ 2^3=(1+1)^3=....}\)
\(\displaystyle{ 2^4=(1+1)^4=....}\)
\(\displaystyle{ 2^n=(1+1)^n=....}\)

\(\displaystyle{ 0=(1-1)^3=....}\)
\(\displaystyle{ 0=(1-1)^4=....}\)
\(\displaystyle{ 0=(1-1)^n=....}\)