Mam z tożsamości:
\(\displaystyle{ x ^{\overline{n}}= \sum_{k=0}^{n} \begin{bmatrix} n\\k\end{bmatrix} x^{k}}\)
wyprowadzić podobną równość:
\(\displaystyle{ x ^{\underline{n}}= \sum_{k=0}^{n} \begin{bmatrix} n\\k\end{bmatrix} x^{k}(-1)^{n-k}}\)
Trochę nad tym myślałem, ale nic konkretnego mi nie przyszło do głowy. Znam tożsamość \(\displaystyle{ x^{\overline{n}}=x^{\underline{n}}(-1)^{n}}\), ale wątpię, by mi się tu przydał...
Silnie kroczące i liczby Stirlinga
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Silnie kroczące i liczby Stirlinga
Takiej akurat nie ma. Jest:krymeer pisze:Znam tożsamość \(\displaystyle{ x^{\overline{n}}=x^{\underline{n}}(-1)^{n}}\)
\(\displaystyle{ x^{\overline{n}}=(-x)^{\underline{n}}(-1)^{n}}\)
lub też w postaci, która będzie nam potrzebna:
\(\displaystyle{ x^{\underline{n}}=(-x)^{\overline{n}}(-1)^{n}}\)
I oczywiście żądana tożsamość wynika z tej ostatniej - wystarczy bowiem do prawej strony wstawić to co wynika z pierwszej podanej przez Ciebie tożsamości.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 21 gru 2014, o 11:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 12 razy
Silnie kroczące i liczby Stirlinga
Miałem na myśli tę pierwszą równość, ale zapomniałem o wstawieniu minusa. Dziękuję!
-
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 21 gru 2014, o 11:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 12 razy
Silnie kroczące i liczby Stirlinga
Tym razem mam do udowodnienia następującą tożsamość
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \begin{bmatrix} n\\k\end{bmatrix} k=\begin{bmatrix} n+1\\2\end{bmatrix}}\)
Czy da się to udowodnić za pomocą indukcji? Trudno mi jest znaleźć jednak związek między \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \begin{bmatrix} n\\k\end{bmatrix} k}\) a \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} \begin{bmatrix} n+1\\k\end{bmatrix} k...}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \begin{bmatrix} n\\k\end{bmatrix} k=\begin{bmatrix} n+1\\2\end{bmatrix}}\)
Czy da się to udowodnić za pomocą indukcji? Trudno mi jest znaleźć jednak związek między \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \begin{bmatrix} n\\k\end{bmatrix} k}\) a \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} \begin{bmatrix} n+1\\k\end{bmatrix} k...}\)
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Silnie kroczące i liczby Stirlinga
A nie próbowałeś kombinatorycznie? Po lewej stronie rozkładasz jakoś na cykle i wybierasz jeden, naznaczony. Problem z prawą stroną chyba jest.
Próbowałeś zróżniczkowania \(\displaystyle{ x ^{\overline{n}}= \sum_{k=0}^{n} \begin{bmatrix} n\\k\end{bmatrix} x^{k}}\) stronami i wstawienia \(\displaystyle{ x = 1}\)?
Próbowałeś zróżniczkowania \(\displaystyle{ x ^{\overline{n}}= \sum_{k=0}^{n} \begin{bmatrix} n\\k\end{bmatrix} x^{k}}\) stronami i wstawienia \(\displaystyle{ x = 1}\)?