Silnie kroczące i liczby Stirlinga

[krymeer]

Mam z tożsamości:
\(\displaystyle{ x ^{\overline{n}}= \sum_{k=0}^{n} \begin{bmatrix} n\\k\end{bmatrix} x^{k}}\)
wyprowadzić podobną równość:
\(\displaystyle{ x ^{\underline{n}}= \sum_{k=0}^{n} \begin{bmatrix} n\\k\end{bmatrix} x^{k}(-1)^{n-k}}\)

Trochę nad tym myślałem, ale nic konkretnego mi nie przyszło do głowy. Znam tożsamość \(\displaystyle{ x^{\overline{n}}=x^{\underline{n}}(-1)^{n}}\), ale wątpię, by mi się tu przydał...

[Qń]

Znam tożsamość \(\displaystyle{ x^{\overline{n}}=x^{\underline{n}}(-1)^{n}}\)

Takiej akurat nie ma. Jest:
\(\displaystyle{ x^{\overline{n}}=(-x)^{\underline{n}}(-1)^{n}}\)
lub też w postaci, która będzie nam potrzebna:
\(\displaystyle{ x^{\underline{n}}=(-x)^{\overline{n}}(-1)^{n}}\)

I oczywiście żądana tożsamość wynika z tej ostatniej - wystarczy bowiem do prawej strony wstawić to co wynika z pierwszej podanej przez Ciebie tożsamości.

Q.

[krymeer]

Miałem na myśli tę pierwszą równość, ale zapomniałem o wstawieniu minusa. Dziękuję!

[krymeer]

Tym razem mam do udowodnienia następującą tożsamość
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \begin{bmatrix} n\\k\end{bmatrix} k=\begin{bmatrix} n+1\\2\end{bmatrix}}\)
Czy da się to udowodnić za pomocą indukcji? Trudno mi jest znaleźć jednak związek między \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \begin{bmatrix} n\\k\end{bmatrix} k}\) a \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} \begin{bmatrix} n+1\\k\end{bmatrix} k...}\)

[Medea 2]

A nie próbowałeś kombinatorycznie? Po lewej stronie rozkładasz jakoś na cykle i wybierasz jeden, naznaczony. Problem z prawą stroną chyba jest.

Próbowałeś zróżniczkowania \(\displaystyle{ x ^{\overline{n}}= \sum_{k=0}^{n} \begin{bmatrix} n\\k\end{bmatrix} x^{k}}\) stronami i wstawienia \(\displaystyle{ x = 1}\)?