Równanie z silnią

[musialmi]

Czy istnieje metoda obliczeniowa lub kombinatoryczna rozwiązania równania \(\displaystyle{ x(x+1)(x+2)=(x+1)!}\)? Nie chodzi mi o metodę, w której zauważa się, że \(\displaystyle{ x}\) nie może być za duży i zgaduje się wynik, podstawiając małe iksy.

[Medea 2]

Oczywiście, że istnieje. Skoro \(\displaystyle{ x^2 + x = x!}\), to można podać jakieś oczywiste szacowanie. Dajmy na to, niech \(\displaystyle{ L < x^2+2x}\) i \(\displaystyle{ R \ge (x+1)^2 > x^2+2x+1}\) (prawdziwe dla \(\displaystyle{ x \ge 5}\), dowód przez indukcję).

Jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x = 4}\).

[musialmi]

Rozumiem, że \(\displaystyle{ L,R}\) to oznaczenia stron równania. Oszacowanie dla lewej jest jasne. Dla prawej ani trochę, bo skoro prawdziwe dla \(\displaystyle{ x>4}\), to jak wykryjemy rozwiązanie \(\displaystyle{ x=4}\)? I w ogóle co z tych oszacowań? Dostajemy \(\displaystyle{ x^2+2x < x^2+2x+1}\).

[Medea 2]

No właśnie. Dostajemy, że dla \(\displaystyle{ x \ge 5}\) zachodzi \(\displaystyle{ x(x+2) = x^2+2x < (x+1)^2 < x!}\), więc prawa strona nie może być równa lewej. Dla \(\displaystyle{ x \le 4}\) można to policzyć na palcach, nie ma w tym nic złego.

[musialmi]

Ale ty właśnie zauważyłaś, że \(\displaystyle{ x}\) nie może być za duży i zgadłaś wynik, podstawiając małe iksy Ja nie mówię, że to nie jest metoda, że coś jest w tym złego, czy coś. Szukam innej.

[piasek101]

Podziel stronami przez \(\displaystyle{ x(x+1)}\) (dla \(\displaystyle{ x(x+1)=0}\) równanie nie jest spełnione).

[musialmi]

I co dalej?

[piasek101]

I masz \(\displaystyle{ x+2=(x-1)!}\)

[musialmi]

Aha I co z tym?

[piasek101]

A dalej podobnie do tego co było - lewa zdecydowanie szybciej rośnie od prawej i szacowanie.