Wyznaczanie wzoru jawnego
- Ceplusplusik
- Użytkownik
- Posty: 228
- Rejestracja: 7 paź 2012, o 17:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 94 razy
Wyznaczanie wzoru jawnego
Witam. Natrafiłem na nietypowy przykład, który ciężko rozwiązać mi "tradycyjnym wzorem". Prosiłbym o pomoc.
a) \(\displaystyle{ S_{2n}=2 \cdot S_{n}+3, S_{1}=1}\)-- 13 kwi 2015, o 14:23 --Bardzo prosiłbym o pomoc jak najszybciej : ).
a) \(\displaystyle{ S_{2n}=2 \cdot S_{n}+3, S_{1}=1}\)-- 13 kwi 2015, o 14:23 --Bardzo prosiłbym o pomoc jak najszybciej : ).
Wyznaczanie wzoru jawnego
Podstawmy \(\displaystyle{ T_n =S_{2^n}.}\) Wówczas mamy \(\displaystyle{ T_{n+1} =S_{2^{n+1}} =2S_{2^n} +3 =2T_n +3 , T_0 =1.}\) A zatem \(\displaystyle{ S_{2^n} =2^{n+2} -3.}\)
- Ceplusplusik
- Użytkownik
- Posty: 228
- Rejestracja: 7 paź 2012, o 17:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 94 razy
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Wyznaczanie wzoru jawnego
Ale we wzorze pierwotnym nic o \(\displaystyle{ S_{3}}\) nie wiemy!
Ale jak podstawisz:
\(\displaystyle{ 2n:=n}\)
masz:
\(\displaystyle{ S_{n}=4n-3}\)
I wtedy gra bo:
\(\displaystyle{ S_{2n}=8n-3}\)
po podstawieniu:
\(\displaystyle{ 8n-3=2(4n-3)+3=8n-6+3=8n-3}\)
I masz:
\(\displaystyle{ S_{3}=4 \cdot 3-3=9}\)
cnd...
Przy tym wzorze rekurencja hula!
wzór:
\(\displaystyle{ S_{n}=4n-3}\)
Ale jak podstawisz:
\(\displaystyle{ 2n:=n}\)
masz:
\(\displaystyle{ S_{n}=4n-3}\)
I wtedy gra bo:
\(\displaystyle{ S_{2n}=8n-3}\)
po podstawieniu:
\(\displaystyle{ 8n-3=2(4n-3)+3=8n-6+3=8n-3}\)
I masz:
\(\displaystyle{ S_{3}=4 \cdot 3-3=9}\)
cnd...
Przy tym wzorze rekurencja hula!
wzór:
\(\displaystyle{ S_{n}=4n-3}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22219
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Wyznaczanie wzoru jawnego
Oj arek1357, sam sobie zaprzeczasz. Z jednej strony piszesz, że wartość \(\displaystyle{ S_3}\) ciągu nie jest określona. Potem jednak "stwierdzasz" że to 9.
Czyżby ciąg \(\displaystyle{ S_n=\begin{cases}4n-3& \text{gdy } n=2^k\\ 1 & \text{ poza tym}\end{cases}}\) nie spełniał warunków zadania?
Czyżby ciąg \(\displaystyle{ S_n=\begin{cases}4n-3& \text{gdy } n=2^k\\ 1 & \text{ poza tym}\end{cases}}\) nie spełniał warunków zadania?
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Wyznaczanie wzoru jawnego
No tak masz rację sam sobie zaprzeczyłem!
Ale gdy podstawisz za \(\displaystyle{ n=2^k}\) to już nie będzie hulał dla nieparzystych np.
Ale tak naprawdę to ja sobie nie zaprzeczyłem bo odnosząc się do wzoru pierwotnego tej rekurencji nieszczęsnej to z niej nic nie wynika dla nieparzystych.
A potem jak rozwinąłem na wszystkie naturalne to już zaczęło wynikać!
Więc jak sam widzisz taka troszkę gonitwa za własnym ogonem sam tego nie ogarniam!
Twój ciąg też spełnia warunki zadania ale jakby to powiedzieć w języku funkcji: "Jest nieciągły".
Jeśli pominiesz warunek drugi tylko zostawisz warunek pierwszy dla wszystkich n to będzie ciąg ciągły!
Ale jeden i drugi jak na warunki tego zadania jest ok!
Nikt się nie obrazi , że mówię o ciągłości w ciągach tym bardziej, że ciągi nieciągłe jako takie się różniczkuje. Więc mój lapsus można wybaczyć i pewnie nie podejdzie pod warna!
Ale gdy podstawisz za \(\displaystyle{ n=2^k}\) to już nie będzie hulał dla nieparzystych np.
Ale tak naprawdę to ja sobie nie zaprzeczyłem bo odnosząc się do wzoru pierwotnego tej rekurencji nieszczęsnej to z niej nic nie wynika dla nieparzystych.
A potem jak rozwinąłem na wszystkie naturalne to już zaczęło wynikać!
Więc jak sam widzisz taka troszkę gonitwa za własnym ogonem sam tego nie ogarniam!
Twój ciąg też spełnia warunki zadania ale jakby to powiedzieć w języku funkcji: "Jest nieciągły".
Jeśli pominiesz warunek drugi tylko zostawisz warunek pierwszy dla wszystkich n to będzie ciąg ciągły!
Ale jeden i drugi jak na warunki tego zadania jest ok!
Nikt się nie obrazi , że mówię o ciągłości w ciągach tym bardziej, że ciągi nieciągłe jako takie się różniczkuje. Więc mój lapsus można wybaczyć i pewnie nie podejdzie pod warna!
-
- Użytkownik
- Posty: 22219
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Wyznaczanie wzoru jawnego
Dlatego wracam do definicji: taka definicja pozwala określic wszystkie wyrazy ciagu, których numerki są potęgami dwójki i absolutnie nic nie mówi o pozostałych wyrazach.
Autor niestety nie precyzuje jakiej pomocy oczekuje.
Autor niestety nie precyzuje jakiej pomocy oczekuje.