Wyznaczanie wzoru jawnego

Ceplusplusik · Post autor: **Ceplusplusik** » 13 kwie 2015, o 14:47

Witam. Natrafiłem na nietypowy przykład, który ciężko rozwiązać mi "tradycyjnym wzorem". Prosiłbym o pomoc.

a) \(\displaystyle{ S_{2n}=2 \cdot S_{n}+3, S_{1}=1}\)-- 13 kwi 2015, o 14:23 --Bardzo prosiłbym o pomoc jak najszybciej : ).

kicaj · Post autor: **kicaj** » 13 kwie 2015, o 15:35

Podstawmy \(\displaystyle{ T_n =S_{2^n}.}\) Wówczas mamy \(\displaystyle{ T_{n+1} =S_{2^{n+1}} =2S_{2^n} +3 =2T_n +3 , T_0 =1.}\) A zatem \(\displaystyle{ S_{2^n} =2^{n+2} -3.}\)

Ceplusplusik · Post autor: **Ceplusplusik** » 13 kwie 2015, o 20:13

Super, dzięki wielkie .

a4karo · Post autor: **a4karo** » 13 kwie 2015, o 20:17

No, nie tak do konca: wzór na ciąg jest dość ułomny. Potrafisz powiedzieć ile wynosi \(\displaystyle{ S_3}\)?

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 13 kwie 2015, o 21:05

Ale we wzorze pierwotnym nic o \(\displaystyle{ S_{3}}\) nie wiemy!

Ale jak podstawisz:

\(\displaystyle{ 2n:=n}\)

masz:

\(\displaystyle{ S_{n}=4n-3}\)

I wtedy gra bo:

\(\displaystyle{ S_{2n}=8n-3}\)

po podstawieniu:

\(\displaystyle{ 8n-3=2(4n-3)+3=8n-6+3=8n-3}\)

I masz:

\(\displaystyle{ S_{3}=4 \cdot 3-3=9}\)

cnd...

Przy tym wzorze rekurencja hula!

wzór:

\(\displaystyle{ S_{n}=4n-3}\)

a4karo · Post autor: **a4karo** » 13 kwie 2015, o 21:21

Oj arek1357, sam sobie zaprzeczasz. Z jednej strony piszesz, że wartość \(\displaystyle{ S_3}\) ciągu nie jest określona. Potem jednak "stwierdzasz" że to 9.

Czyżby ciąg \(\displaystyle{ S_n=\begin{cases}4n-3& \text{gdy } n=2^k\\ 1 & \text{ poza tym}\end{cases}}\) nie spełniał warunków zadania?

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 13 kwie 2015, o 21:30

No tak masz rację sam sobie zaprzeczyłem!
Ale gdy podstawisz za \(\displaystyle{ n=2^k}\) to już nie będzie hulał dla nieparzystych np.

Ale tak naprawdę to ja sobie nie zaprzeczyłem bo odnosząc się do wzoru pierwotnego tej rekurencji nieszczęsnej to z niej nic nie wynika dla nieparzystych.

A potem jak rozwinąłem na wszystkie naturalne to już zaczęło wynikać!
Więc jak sam widzisz taka troszkę gonitwa za własnym ogonem sam tego nie ogarniam!

Twój ciąg też spełnia warunki zadania ale jakby to powiedzieć w języku funkcji: "Jest nieciągły".
Jeśli pominiesz warunek drugi tylko zostawisz warunek pierwszy dla wszystkich n to będzie ciąg ciągły!
Ale jeden i drugi jak na warunki tego zadania jest ok!
Nikt się nie obrazi , że mówię o ciągłości w ciągach tym bardziej, że ciągi nieciągłe jako takie się różniczkuje. Więc mój lapsus można wybaczyć i pewnie nie podejdzie pod warna!

a4karo · Post autor: **a4karo** » 13 kwie 2015, o 21:45

Dlatego wracam do definicji: taka definicja pozwala określic wszystkie wyrazy ciagu, których numerki są potęgami dwójki i absolutnie nic nie mówi o pozostałych wyrazach.
Autor niestety nie precyzuje jakiej pomocy oczekuje.

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 13 kwie 2015, o 21:50

Dokładnie wzór ma luki(dziury) a luki te nazwałem "nieciągłością ciągu"!