Witam, mam problem z rozwiązaniem poniższego równania rekurencyjnego. byłbym wdzięczny za wytłumaczenie po kolei co mam zrobić i ew. rozwiązanie go.
\(\displaystyle{ a_{n}-3a _{n-1}-4a_{n-2}+12a_{n-3}=0 \\
a_{0}=3, a_{1}=-7, a_{2}=75}\)
Równanie rekurencyjne
-
ludozyad
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 4 kwie 2015, o 22:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 5 razy
Równanie rekurencyjne
Ostatnio zmieniony 12 kwie 2015, o 16:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
AloneAngel
- Użytkownik
- Posty: 630
- Rejestracja: 19 mar 2012, o 17:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 176 razy
Równanie rekurencyjne
Tutaj jest o tyle łatwo, że nie ma żadnych wyrazów "wolnych". Umiesz wyznaczyć wielomian charakterystyczny tego równania?
-
AloneAngel
- Użytkownik
- Posty: 630
- Rejestracja: 19 mar 2012, o 17:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 176 razy
Równanie rekurencyjne
Tak "łopatologicznie" tłumacząc. Musimy stworzyć w tym przypadku wielomian stopnia trzeciego, którego współczynniki będą takie same jak te, które stoją przy kolejnych wyrazach w Twoim równaniu rekurencyjnym. Najniższy stopień wyrazu ( w Twoim przypadku \(\displaystyle{ a_{n-3}}\) odpowiada wyrazowi wolnemu w wielomianie. Wyraz \(\displaystyle{ a_{n-2}}\) odpowiada za współrzędną "x" etc. Stąd wielomianem charakterystycznym tego równania jest: \(\displaystyle{ x^3 - 3x^2 -4x+12}\) Teraz policz jego miejsca zerowe.
-
ludozyad
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 4 kwie 2015, o 22:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 5 razy
Równanie rekurencyjne
Ok, miejsca zerowe to \(\displaystyle{ 2, -2, 3}\).
Ostatnio zmieniony 5 kwie 2015, o 21:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
AloneAngel
- Użytkownik
- Posty: 630
- Rejestracja: 19 mar 2012, o 17:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 176 razy
Równanie rekurencyjne
Okej, mamy miejsca zerowe. W takim razie z tego możemy wywnioskować, że nasz wzór jawny tego ciągu jest postaci \(\displaystyle{ a_{n} = a \cdot 2^n + b \cdot (-2)^n + c \cdot 3^n}\) Teraz żeby wyliczyć wartości współczynników \(\displaystyle{ a, b, c}\) musisz powstawiać wartości wyrazów\(\displaystyle{ a_{0}, a_{1}, a_{2}}\) i rozwiązać ten układ równań. Wszystko jasne?
-
ludozyad
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 4 kwie 2015, o 22:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 5 razy
Równanie rekurencyjne
W miare rozumiem, a jesli bym miał równanie z wyrazami wolnymi, np. \(\displaystyle{ a_{n} =8 a_{n-1}-16a_{n-2}-4}\)
\(\displaystyle{ a_{0}=2, a_{1}=12}\)
to czym się różni schemat rozwiązywania takiego zadania?
\(\displaystyle{ a_{0}=2, a_{1}=12}\)
to czym się różni schemat rozwiązywania takiego zadania?
-
AloneAngel
- Użytkownik
- Posty: 630
- Rejestracja: 19 mar 2012, o 17:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 176 razy
Równanie rekurencyjne
Wybacz, że nie odpisałem, ale już poszedłem spać. Tutaj masz dwie opcje do wyboru:
Opcja numer 1:
Skoro \(\displaystyle{ a_{n} =8 a_{n-1}-16a_{n-2}-4}\) to zwiększając indeksy w każdym wyrazie o 1 dostaniemy \(\displaystyle{ a_{n+1} = 8a_{n} - 16a_{n-1} - 4}\). Teraz tylko odejmij te równania od siebie i pozbędziemy się tej \(\displaystyle{ -4}\). A więc teraz standardowo równanie charakterystyczne, jego pierwiastki etc. Pamiętaj tylko, że krotność pierwiastka również ma tutaj bardzo ważne znaczenie. Dodatkowo będziesz musiał sobie z tej zależności wyliczyć wartość wyrazu \(\displaystyle{ a_{2}}\) ze względu na to, że zwiększyliśmy ten indeks.
Opcja numer 2:
Rozbijamy sobie to na dwa przypadki - na rozwiązanie ogólne i szczególne. W rozwiązaniu ogólnym tak jakby "pomijamy" tę czwórkę i liczymy wielomian charakterystyczny z \(\displaystyle{ a_{n} = 8a_{n-1} - 16a_{n-2}}\), następnie jego pierwiastki etc.
Teraz rozwiązanie szczególne. Naszym wyrazem wolnym jest \(\displaystyle{ -4}\). Musimy więc przewidzieć jakiej postaci będzie to nasze równanie szczególne. Nietrudno jest sprawdzić, że będzie to jakaś stała \(\displaystyle{ k \in \mathbbm{R}}\). Wystarczy teraz to \(\displaystyle{ k}\) wstawić do naszego równania za \(\displaystyle{ a_{n}, a_{n-1}, a_{n-2}}\) i wyliczyć ile to \(\displaystyle{ k}\) wynosi. W tym przypadku rozważamy już cale równanie, łącznie z tym \(\displaystyle{ - 4}\)
A wiec wzór jawny naszego ciągu będzie postaci \(\displaystyle{ a_{n} =}\) rozwiązanie ogólne + rozwiązanie szczególne.
-- 5 kwi 2015, o 09:53 --
Z racji tego, że mam trochę czasu to pokażę Ci obie metody.
Sposób pierwszy:
Wyliczamy \(\displaystyle{ a_{2} = 60}\) Teraz zwiększamy indeks każdego wyrazu o jeden, tj.
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n} =8 a_{n-1}-16a_{n-2}-4 \\ a_{n+1} =8 a_{n}-16a_{n-1}-4 \end{cases}}\)
Odejmując stronami dostajemy: \(\displaystyle{ a_{n+1} - a_{n} = 8a_{n} - 8a_{n-1} - 16a_{n-1}+16a_{n-2}}\)
A więc mamy teraz do rozpatrzenia równanie: \(\displaystyle{ a_{n+1} - 9a_{n} + 24a_{n-1} - 16a_{n-2} = 0}\)
Tworzymy wielomian charakterystyczny\(\displaystyle{ \chi(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 16 = (x-1)(x-4)^2}\)
I teraz najważniejsze - jeden pierwiastek wyszedł nam dwukrotny. Stąd nasze rozwiązanie będzie postaci \(\displaystyle{ a \cdot 1^n + (bn+c) \cdot 4^n}\) Dlaczego? Bowiem 4 jest pierwiastek dwukrotnym, a więc przy niej musi stać wielomian stopnia o jeden mniejszego niż jej krotność. Skoro 4 jest pierwiastek dwukrotnym to w rozwiązaniu stoi przy niej wielomian stopnia pierwszego, czyli funkcja liniowa. Z kolei 1 jest pierwiastkiem jednokrotnym, więc przy niej musi stać wielomian stopnia zerowego, czyli stała.
Współczynniki \(\displaystyle{ a,b,c}\) wyliczysz tak jak poprzednio, tzn. podstawiając wartości danych wyrazów i rozwiązując układ równań.
Za chwilę dopiszę drugą metodę.
-- 5 kwi 2015, o 10:11 --
Drugi sposób:
Rozpatrujemy dwa przypadki:
a) Rozwiązanie ogólne ( \(\displaystyle{ a_{n}^{o}}\).
W rozwiązaniu tym zajmujemy się równaniem liniowym jednorodnym (czyli bez wyrazu wolnego ) \(\displaystyle{ a_{n} =8 a_{n-1}-16a_{n-2} \Leftrightarrow a_{n} - 8a_{n-1} + 16 a_{n-2}=0}\)
Tworzymy wielomian charakterystyczny \(\displaystyle{ \chi(x) = x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2}\)
Jest jeden pierwiastek podwójny, a więc \(\displaystyle{ a_{n}^{s} = (an +b) \cdot 4^n}\)
b) Rozwiązanie szczególne \(\displaystyle{ a_{n}^{s}}\)
W rozwiązaniu tym, zajmujemy się przede wszystkim wyrazem wolnym, który wynosi \(\displaystyle{ -4}\). Możemy napisać, że \(\displaystyle{ -4}\) to jest \(\displaystyle{ (-4) \cdot 1^n}\) (na końcu wyjaśnię dlaczego tak ). nasze rozwiązanie szczególne będzie wiec postaci \(\displaystyle{ a_{n}^{s} = v(n) \cdot 1^n = v(n)}\), gdzie \(\displaystyle{ v(n)}\) jest wielomianem jakiegoś stopnia. Jakiego? Otoż bierzemy pod uwagę dwie rzeczy. Po pierwsze: Jakiego stopnia jest ta -4 która stoi przy 1^n. Jest stopnia zerowego. Po drugie ilukrotnym pierwiastkiem w równaniu charakterystycznym jest -4. No też zerowego. Stąd \(\displaystyle{ v(n)}\) jest stopnia 0+0 = 0, czyli stałą \(\displaystyle{ k \in \mathbbm{R}}\).
Wstawiamy teraz to \(\displaystyle{ v(n)}\) za każdy z wyrazów i wyliczamy stałą \(\displaystyle{ k}\). Tzn. \(\displaystyle{ k=8k-16k-4 \Leftrightarrow 9k = -4 \Leftrightarrow k = -\frac{4}{9}}\)
Stąd \(\displaystyle{ a_{n}^{s} = -\frac{4}{9}}\)
Dostajemy więc, że \(\displaystyle{ a_{n} = a_{n}^{o} + a_{n}^{s} = (an+b)\cdot 4^n - \frac{4}{9}}\) Współczynniki \(\displaystyle{ a, b}\) wyliczymy wstawiając wartości wyrazów \(\displaystyle{ a_{0}, a_{1}}\) i rozwiązując układ równań.
Teraz jeszcze kwestia tego dlaczego \(\displaystyle{ -4}\) zapisałem jako \(\displaystyle{ -4 \cdot 1^n}\). Otóż jeżeli wyrazem wolnym są jakieś wielomiany lub funkcje wykładnicze to ten sposób zadziała, ale musimy właśnie zapisać to w taki sposób, tzn. coś razy jakaś funkcja wykładnicza. Jeżeli mamy jakąś stałą, lub wielomian, to po przemnażamy przez \(\displaystyle{ 1^n}\). Z kolei gdy mamy jakąś funkcję wykładniczą jako wyraz wolny, np \(\displaystyle{ 5^n}\) to możemy zapisać jako \(\displaystyle{ 1 \cdot 5^n}\) i rozumowanie dokładnie tak sam przeprowadzić. Gdyby wyrazem wolnym było coś innego to albo musimy to przekształcić jakimś fajnym podstawieniem, albo korzystać z funkcji tworzących. W każdym razie wiele takich przykładów znajdziesz tutaj na forum gdybyś chciał jeszcze potrenować. Oczywiście mogłem gdzieś popełnić jakieś błędy rachunkowe, za które z góry przepraszam.
Opcja numer 1:
Skoro \(\displaystyle{ a_{n} =8 a_{n-1}-16a_{n-2}-4}\) to zwiększając indeksy w każdym wyrazie o 1 dostaniemy \(\displaystyle{ a_{n+1} = 8a_{n} - 16a_{n-1} - 4}\). Teraz tylko odejmij te równania od siebie i pozbędziemy się tej \(\displaystyle{ -4}\). A więc teraz standardowo równanie charakterystyczne, jego pierwiastki etc. Pamiętaj tylko, że krotność pierwiastka również ma tutaj bardzo ważne znaczenie. Dodatkowo będziesz musiał sobie z tej zależności wyliczyć wartość wyrazu \(\displaystyle{ a_{2}}\) ze względu na to, że zwiększyliśmy ten indeks.
Opcja numer 2:
Rozbijamy sobie to na dwa przypadki - na rozwiązanie ogólne i szczególne. W rozwiązaniu ogólnym tak jakby "pomijamy" tę czwórkę i liczymy wielomian charakterystyczny z \(\displaystyle{ a_{n} = 8a_{n-1} - 16a_{n-2}}\), następnie jego pierwiastki etc.
Teraz rozwiązanie szczególne. Naszym wyrazem wolnym jest \(\displaystyle{ -4}\). Musimy więc przewidzieć jakiej postaci będzie to nasze równanie szczególne. Nietrudno jest sprawdzić, że będzie to jakaś stała \(\displaystyle{ k \in \mathbbm{R}}\). Wystarczy teraz to \(\displaystyle{ k}\) wstawić do naszego równania za \(\displaystyle{ a_{n}, a_{n-1}, a_{n-2}}\) i wyliczyć ile to \(\displaystyle{ k}\) wynosi. W tym przypadku rozważamy już cale równanie, łącznie z tym \(\displaystyle{ - 4}\)
A wiec wzór jawny naszego ciągu będzie postaci \(\displaystyle{ a_{n} =}\) rozwiązanie ogólne + rozwiązanie szczególne.
-- 5 kwi 2015, o 09:53 --
Z racji tego, że mam trochę czasu to pokażę Ci obie metody.
Sposób pierwszy:
Wyliczamy \(\displaystyle{ a_{2} = 60}\) Teraz zwiększamy indeks każdego wyrazu o jeden, tj.
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n} =8 a_{n-1}-16a_{n-2}-4 \\ a_{n+1} =8 a_{n}-16a_{n-1}-4 \end{cases}}\)
Odejmując stronami dostajemy: \(\displaystyle{ a_{n+1} - a_{n} = 8a_{n} - 8a_{n-1} - 16a_{n-1}+16a_{n-2}}\)
A więc mamy teraz do rozpatrzenia równanie: \(\displaystyle{ a_{n+1} - 9a_{n} + 24a_{n-1} - 16a_{n-2} = 0}\)
Tworzymy wielomian charakterystyczny\(\displaystyle{ \chi(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 16 = (x-1)(x-4)^2}\)
I teraz najważniejsze - jeden pierwiastek wyszedł nam dwukrotny. Stąd nasze rozwiązanie będzie postaci \(\displaystyle{ a \cdot 1^n + (bn+c) \cdot 4^n}\) Dlaczego? Bowiem 4 jest pierwiastek dwukrotnym, a więc przy niej musi stać wielomian stopnia o jeden mniejszego niż jej krotność. Skoro 4 jest pierwiastek dwukrotnym to w rozwiązaniu stoi przy niej wielomian stopnia pierwszego, czyli funkcja liniowa. Z kolei 1 jest pierwiastkiem jednokrotnym, więc przy niej musi stać wielomian stopnia zerowego, czyli stała.
Współczynniki \(\displaystyle{ a,b,c}\) wyliczysz tak jak poprzednio, tzn. podstawiając wartości danych wyrazów i rozwiązując układ równań.
Za chwilę dopiszę drugą metodę.
-- 5 kwi 2015, o 10:11 --
Drugi sposób:
Rozpatrujemy dwa przypadki:
a) Rozwiązanie ogólne ( \(\displaystyle{ a_{n}^{o}}\).
W rozwiązaniu tym zajmujemy się równaniem liniowym jednorodnym (czyli bez wyrazu wolnego ) \(\displaystyle{ a_{n} =8 a_{n-1}-16a_{n-2} \Leftrightarrow a_{n} - 8a_{n-1} + 16 a_{n-2}=0}\)
Tworzymy wielomian charakterystyczny \(\displaystyle{ \chi(x) = x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2}\)
Jest jeden pierwiastek podwójny, a więc \(\displaystyle{ a_{n}^{s} = (an +b) \cdot 4^n}\)
b) Rozwiązanie szczególne \(\displaystyle{ a_{n}^{s}}\)
W rozwiązaniu tym, zajmujemy się przede wszystkim wyrazem wolnym, który wynosi \(\displaystyle{ -4}\). Możemy napisać, że \(\displaystyle{ -4}\) to jest \(\displaystyle{ (-4) \cdot 1^n}\) (na końcu wyjaśnię dlaczego tak ). nasze rozwiązanie szczególne będzie wiec postaci \(\displaystyle{ a_{n}^{s} = v(n) \cdot 1^n = v(n)}\), gdzie \(\displaystyle{ v(n)}\) jest wielomianem jakiegoś stopnia. Jakiego? Otoż bierzemy pod uwagę dwie rzeczy. Po pierwsze: Jakiego stopnia jest ta -4 która stoi przy 1^n. Jest stopnia zerowego. Po drugie ilukrotnym pierwiastkiem w równaniu charakterystycznym jest -4. No też zerowego. Stąd \(\displaystyle{ v(n)}\) jest stopnia 0+0 = 0, czyli stałą \(\displaystyle{ k \in \mathbbm{R}}\).
Wstawiamy teraz to \(\displaystyle{ v(n)}\) za każdy z wyrazów i wyliczamy stałą \(\displaystyle{ k}\). Tzn. \(\displaystyle{ k=8k-16k-4 \Leftrightarrow 9k = -4 \Leftrightarrow k = -\frac{4}{9}}\)
Stąd \(\displaystyle{ a_{n}^{s} = -\frac{4}{9}}\)
Dostajemy więc, że \(\displaystyle{ a_{n} = a_{n}^{o} + a_{n}^{s} = (an+b)\cdot 4^n - \frac{4}{9}}\) Współczynniki \(\displaystyle{ a, b}\) wyliczymy wstawiając wartości wyrazów \(\displaystyle{ a_{0}, a_{1}}\) i rozwiązując układ równań.
Teraz jeszcze kwestia tego dlaczego \(\displaystyle{ -4}\) zapisałem jako \(\displaystyle{ -4 \cdot 1^n}\). Otóż jeżeli wyrazem wolnym są jakieś wielomiany lub funkcje wykładnicze to ten sposób zadziała, ale musimy właśnie zapisać to w taki sposób, tzn. coś razy jakaś funkcja wykładnicza. Jeżeli mamy jakąś stałą, lub wielomian, to po przemnażamy przez \(\displaystyle{ 1^n}\). Z kolei gdy mamy jakąś funkcję wykładniczą jako wyraz wolny, np \(\displaystyle{ 5^n}\) to możemy zapisać jako \(\displaystyle{ 1 \cdot 5^n}\) i rozumowanie dokładnie tak sam przeprowadzić. Gdyby wyrazem wolnym było coś innego to albo musimy to przekształcić jakimś fajnym podstawieniem, albo korzystać z funkcji tworzących. W każdym razie wiele takich przykładów znajdziesz tutaj na forum gdybyś chciał jeszcze potrenować. Oczywiście mogłem gdzieś popełnić jakieś błędy rachunkowe, za które z góry przepraszam.
Równanie rekurencyjne
Witam. AloneAngel dobrze to wytłumaczyłeś, ale mam jeszcze jedno pytanie. W zeszycie mam taki przykład:
\(\displaystyle{ a_{n} = 3a _{n-1} - 4a_{n-3} \\
a _{0} = 0, a _{1} = 2, a _{2} = -1}\)
Przy początkowych obliczeniach doszedłem do momentu:
\(\displaystyle{ (x+1)(x^{2} - 4x + 4) =0}\)
Czyli \(\displaystyle{ x=-1}\), oraz \(\displaystyle{ x=2}\), przy czym jest to pierwiastek dwukrotny.
Napisałem do tego równanie:
\(\displaystyle{ a_{n}=c_{1}(-1)^{n} + (c_{2} \cdot n + c_{3}) \cdot 2^{n}}\)
Natomiast w zeszycie, rozwiązanie wykładowcy wyglądało tak:
\(\displaystyle{ a_{n}=c_{1}(-1)^{n} + (c_{2} + n \cdot c_{3}) \cdot 2^{n}}\)
To "\(\displaystyle{ n}\)" jest w innym miejscu w nawiasie. Rozwiązania tych trzech stałych będą takie same, tylko w innej kolejności co zmieni całe równianie. Wiesz może dlaczego tak jest? To błąd nauczyciela, czy mój?
\(\displaystyle{ a_{n} = 3a _{n-1} - 4a_{n-3} \\
a _{0} = 0, a _{1} = 2, a _{2} = -1}\)
Przy początkowych obliczeniach doszedłem do momentu:
\(\displaystyle{ (x+1)(x^{2} - 4x + 4) =0}\)
Czyli \(\displaystyle{ x=-1}\), oraz \(\displaystyle{ x=2}\), przy czym jest to pierwiastek dwukrotny.
Napisałem do tego równanie:
\(\displaystyle{ a_{n}=c_{1}(-1)^{n} + (c_{2} \cdot n + c_{3}) \cdot 2^{n}}\)
Natomiast w zeszycie, rozwiązanie wykładowcy wyglądało tak:
\(\displaystyle{ a_{n}=c_{1}(-1)^{n} + (c_{2} + n \cdot c_{3}) \cdot 2^{n}}\)
To "\(\displaystyle{ n}\)" jest w innym miejscu w nawiasie. Rozwiązania tych trzech stałych będą takie same, tylko w innej kolejności co zmieni całe równianie. Wiesz może dlaczego tak jest? To błąd nauczyciela, czy mój?
Ostatnio zmieniony 5 kwie 2015, o 21:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
-
AloneAngel
- Użytkownik
- Posty: 630
- Rejestracja: 19 mar 2012, o 17:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 176 razy
Równanie rekurencyjne
To nie jest żaden błąd. To jest dokładnie to samo. Obojętnym jest gdzie postawisz to \(\displaystyle{ n}\) - czy przy \(\displaystyle{ c_{2}}\) czy przy \(\displaystyle{ c_{3}}\). Rozwiązania będą takie same, tylko w innej kolejności, ale to nie zmieni nam równania. Dlaczego? Bo w Twoim równaniu też masz inną kolejność, niż nauczyciel. Jak chcesz możesz wyliczyć z obu postaci współczynniki \(\displaystyle{ c_{1}, c_{2}, c_{3}}\) i zobaczysz, że ostateczne rozwiązanie będzie dokładnie takie samo.-- 5 kwi 2015, o 14:51 --Z Twojego równania dostajemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} c_{1} + c_{3} = 0 \\ -c_{1} + (c_{2} + c_{3}) \cdot 2 =2 \\ c_{1} + (2\cdot c_{2} + c_{3})\cdot 4 = -1\end{cases}}\)
Stąd \(\displaystyle{ c_{1} = -1, \ c_{2} = -\frac{1}{2}, \ c_{3} = 1}\)
A więc wzór jawny tego ciągu to: \(\displaystyle{ a_{n} = -1 \cdot (-1)^{n} + (-\frac{1}{2} \cdot n + 1) \cdot 2^n}\)
A z równania Twojego wykładowcy:
\(\displaystyle{ c_{1}+c_{2} =0 \\ -c_{1}+(c_{2}+c_{3}) \cdot 2 = 2 \\ c_{1} + (c_{2} + 2 \cdot c_{3})\cdot 4 =-1}\)
Co nam daje: \(\displaystyle{ c_{1} = -1, \ c_{2} =1 , \ c_{3} = -\frac{1}{2}}\)
A więc wzór jawny to (według oznaczeń Twojego wykładowcy): \(\displaystyle{ a_{n} = (-1) \cdot (-1)^{n} + ( 1 + (-\frac{1}{2} \cdot n)\cdot 2^{n}}\)
Czyli dokładnie to samo
Także widzisz, że to przy której zmiennej dasz to \(\displaystyle{ n}\) nie ma znaczenia - najważniejsze jest to, że jest to funkcja liniowa.
\(\displaystyle{ \begin{cases} c_{1} + c_{3} = 0 \\ -c_{1} + (c_{2} + c_{3}) \cdot 2 =2 \\ c_{1} + (2\cdot c_{2} + c_{3})\cdot 4 = -1\end{cases}}\)
Stąd \(\displaystyle{ c_{1} = -1, \ c_{2} = -\frac{1}{2}, \ c_{3} = 1}\)
A więc wzór jawny tego ciągu to: \(\displaystyle{ a_{n} = -1 \cdot (-1)^{n} + (-\frac{1}{2} \cdot n + 1) \cdot 2^n}\)
A z równania Twojego wykładowcy:
\(\displaystyle{ c_{1}+c_{2} =0 \\ -c_{1}+(c_{2}+c_{3}) \cdot 2 = 2 \\ c_{1} + (c_{2} + 2 \cdot c_{3})\cdot 4 =-1}\)
Co nam daje: \(\displaystyle{ c_{1} = -1, \ c_{2} =1 , \ c_{3} = -\frac{1}{2}}\)
A więc wzór jawny to (według oznaczeń Twojego wykładowcy): \(\displaystyle{ a_{n} = (-1) \cdot (-1)^{n} + ( 1 + (-\frac{1}{2} \cdot n)\cdot 2^{n}}\)
Czyli dokładnie to samo
Także widzisz, że to przy której zmiennej dasz to \(\displaystyle{ n}\) nie ma znaczenia - najważniejsze jest to, że jest to funkcja liniowa.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Równanie rekurencyjne
E tam mnie się bardziej podobają funkcje tworzące
Są bardziej przejrzyste i mają szersze zastosowanie
Tutaj współczynniki są stałe więc wygodna będzie
funkcja tworząca dająca dla ciągu jedynek szereg geometryczny
\(\displaystyle{ a_{n}-3a _{n-1}-4a_{n-2}+12a_{n-3}=0}\)
\(\displaystyle{ a_{0}=3, a_{1}=-7, a_{2}=75}\)
\(\displaystyle{ A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n} \\
\sum_{n=3}^{ \infty }{a_{n}x^n}= \sum_{n=3}^{ \infty }{3a_{n-1}x^{n}}+\sum_{n=3}^{ \infty }{4a_{n-2}x^{n}}-\sum_{n=3}^{ \infty }{12a_{n-3}x^{n}} \\
\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n} \right)-75x^2+7x-3=3x\left( \sum_{n=3}^{ \infty }{a_{n-1}x^{n-1}} \right)+4x^2\left( \sum_{n=3}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n-2}} \right)-12x^3\left( \sum_{n=3}^{ \infty }{a_{n-3}x^{n-3} } \right) \\
\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n} \right)-75x^2+7x-3=3x\left( \sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \right)+4x^2\left( \sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \right)-12x^3\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n} } \right) \\
\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n} \right)-75x^2+7x-3=3x\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} +7x-3\right)+4x^2\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} -3\right)-12x^3\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n} } \right) \\
A\left( x\right)-75x^2+7x-3=3x\left( A\left( x\right)+7x-3 \right)+4x^2\left( A\left( x\right)-3 \right)+12x^3A\left( x\right)\\
A\left( x\right)-75x^2+7x-3=3xA\left( x\right)+21x^2-9x+4x^2A\left( x\right)-12x^2-12x^3A\left( x\right)\\
A\left( x\right)-3xA\left( x\right)-4x^2A\left( x\right)+12x^3A\left( x\right)=84x^2-16x+3\\
A\left( x\right)\left( 1-3x-4x^2+12x^3\right)=84x^2-16x+3\\
A\left( x\right)\left( \left( 1-3x\right)-4x^2\left( 1-3x\right) \right)=84x^2-16x+3\\
A\left( x\right)\left( 1-3x\right)\left( 1-4x^2\right)=84x^2-16x+3\\
A\left( x\right)\left( 1-3x\right)\left( 1-2x\right)\left( 1+2x\right)=84x^2-16x+3\\
A\left( x\right)=\frac{84x^2-16x+3}{\left( 1-3x\right)\left( 1-2x\right)\left( 1+2x\right)} \\}\)
\(\displaystyle{ \frac{84x^2-16x+3}{\left( 1-3x\right)\left( 1-2x\right)\left( 1+2x\right)}=\frac{A}{1-3x}+\frac{B}{1-2x}+\frac{C}{\left( 1+2x\right) }\\
84x^2-16x+3=A\left( 1-2x\right)\left( 1+2x\right)+B\left( 1-3x\right)\left( 1+2x\right)+C\left( 1-3x\right)\left( 1-2x\right)\\
84x^2-16x+3=A\left( 1-4x^2\right)+B\left( 1-x-6x^2\right)+C\left( 1-5x+6x^2\right)\\
\begin{cases} A+B+C=3 \\ -B-5C=-16\\-4A-6B+6C=84 \end{cases} \\
\begin{cases} A+B+C=3 \\ \qquad -B-5C=-16\\\qquad B-5C=-48 \end{cases} \\
\begin{cases} A+B+C=3 \\ \qquad B+5C=16\\\qquad \qquad 5C=32 \end{cases} \\
\begin{cases} A=\frac{63}{5} \\ \qquad B=-16\\\qquad \qquad C=\frac{32}{5} \end{cases} \\
A\left( x\right)=\frac{63}{5} \cdot \frac{1}{1-3x}-\frac{80}{5} \cdot \frac{1}{1-2x}+\frac{32}{5} \cdot \frac{1}{1-\left( -2x\right) } \\
A\left( x\right)=\frac{63}{5}\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{3^nx^n}\right) -\frac{80}{5}\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{2^nx^n}\right)+\frac{32}{5}\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( -2\right) ^nx^n}\right) \\
A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{\left[\frac{63}{5} \cdot 3^n- \frac{80}{5} \cdot 2^{n}+\frac{32}{5} \cdot \left( -2\right)^n \right]x^{n} }\\
a_{n}=\frac{63}{5} \cdot 3^n- \frac{80}{5} \cdot 2^{n}+\frac{32}{5} \cdot \left( -2\right)^n}\)
Są bardziej przejrzyste i mają szersze zastosowanie
Tutaj współczynniki są stałe więc wygodna będzie
funkcja tworząca dająca dla ciągu jedynek szereg geometryczny
\(\displaystyle{ a_{n}-3a _{n-1}-4a_{n-2}+12a_{n-3}=0}\)
\(\displaystyle{ a_{0}=3, a_{1}=-7, a_{2}=75}\)
\(\displaystyle{ A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n} \\
\sum_{n=3}^{ \infty }{a_{n}x^n}= \sum_{n=3}^{ \infty }{3a_{n-1}x^{n}}+\sum_{n=3}^{ \infty }{4a_{n-2}x^{n}}-\sum_{n=3}^{ \infty }{12a_{n-3}x^{n}} \\
\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n} \right)-75x^2+7x-3=3x\left( \sum_{n=3}^{ \infty }{a_{n-1}x^{n-1}} \right)+4x^2\left( \sum_{n=3}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n-2}} \right)-12x^3\left( \sum_{n=3}^{ \infty }{a_{n-3}x^{n-3} } \right) \\
\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n} \right)-75x^2+7x-3=3x\left( \sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \right)+4x^2\left( \sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \right)-12x^3\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n} } \right) \\
\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^n} \right)-75x^2+7x-3=3x\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} +7x-3\right)+4x^2\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} -3\right)-12x^3\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n} } \right) \\
A\left( x\right)-75x^2+7x-3=3x\left( A\left( x\right)+7x-3 \right)+4x^2\left( A\left( x\right)-3 \right)+12x^3A\left( x\right)\\
A\left( x\right)-75x^2+7x-3=3xA\left( x\right)+21x^2-9x+4x^2A\left( x\right)-12x^2-12x^3A\left( x\right)\\
A\left( x\right)-3xA\left( x\right)-4x^2A\left( x\right)+12x^3A\left( x\right)=84x^2-16x+3\\
A\left( x\right)\left( 1-3x-4x^2+12x^3\right)=84x^2-16x+3\\
A\left( x\right)\left( \left( 1-3x\right)-4x^2\left( 1-3x\right) \right)=84x^2-16x+3\\
A\left( x\right)\left( 1-3x\right)\left( 1-4x^2\right)=84x^2-16x+3\\
A\left( x\right)\left( 1-3x\right)\left( 1-2x\right)\left( 1+2x\right)=84x^2-16x+3\\
A\left( x\right)=\frac{84x^2-16x+3}{\left( 1-3x\right)\left( 1-2x\right)\left( 1+2x\right)} \\}\)
\(\displaystyle{ \frac{84x^2-16x+3}{\left( 1-3x\right)\left( 1-2x\right)\left( 1+2x\right)}=\frac{A}{1-3x}+\frac{B}{1-2x}+\frac{C}{\left( 1+2x\right) }\\
84x^2-16x+3=A\left( 1-2x\right)\left( 1+2x\right)+B\left( 1-3x\right)\left( 1+2x\right)+C\left( 1-3x\right)\left( 1-2x\right)\\
84x^2-16x+3=A\left( 1-4x^2\right)+B\left( 1-x-6x^2\right)+C\left( 1-5x+6x^2\right)\\
\begin{cases} A+B+C=3 \\ -B-5C=-16\\-4A-6B+6C=84 \end{cases} \\
\begin{cases} A+B+C=3 \\ \qquad -B-5C=-16\\\qquad B-5C=-48 \end{cases} \\
\begin{cases} A+B+C=3 \\ \qquad B+5C=16\\\qquad \qquad 5C=32 \end{cases} \\
\begin{cases} A=\frac{63}{5} \\ \qquad B=-16\\\qquad \qquad C=\frac{32}{5} \end{cases} \\
A\left( x\right)=\frac{63}{5} \cdot \frac{1}{1-3x}-\frac{80}{5} \cdot \frac{1}{1-2x}+\frac{32}{5} \cdot \frac{1}{1-\left( -2x\right) } \\
A\left( x\right)=\frac{63}{5}\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{3^nx^n}\right) -\frac{80}{5}\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{2^nx^n}\right)+\frac{32}{5}\left( \sum_{n=0}^{ \infty }{\left( -2\right) ^nx^n}\right) \\
A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{\left[\frac{63}{5} \cdot 3^n- \frac{80}{5} \cdot 2^{n}+\frac{32}{5} \cdot \left( -2\right)^n \right]x^{n} }\\
a_{n}=\frac{63}{5} \cdot 3^n- \frac{80}{5} \cdot 2^{n}+\frac{32}{5} \cdot \left( -2\right)^n}\)