Anagram słowa

[Sachato]

Mam takie zadanie, że mam obliczyć ilość anagramów jakie można stworzyć ze słowa abrakadabra.

Zakładam, że to chodzi o to, aby z tych samych literek stworzyć inne słowo, a więc biorąc pod uwagę, że to kombinatoryka, więc nie ważne co powstanie. ;P

jest:
5xa
2xr
2xb
1xk
1xd

a więc \(\displaystyle{ {11\choose 5}}\)\(\displaystyle{ {6\choose 2}}\)\(\displaystyle{ {4\choose 2}}\)\(\displaystyle{ {2\choose 1}}\)\(\displaystyle{ {1\choose 1}}\) będzie wynikiem?

[cz0rnyfj]

Tak, wynik jest dobry.

Rozwiązałem to również w inny sposób za pomocą permutacji, Ty natomiast skorzystałeś z kombinacji.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \frac{11!}{5! \cdot 2! \cdot 2!} = 83160}\)
Polega to na tym że obliczam ile jest wszystkich przestawień tego ciągu a później dziele przez to co się powtarza 5 x a, 2 x r i 2 x b

[Sachato]

Abrakadabra. Często jest nawet nadużywane, jako zabawny magiczny zwrot pozbawiony konkretnego znaczenia. Niektórzy językoznawcy dowodzą, że pochodzi z języka aramejskiego (Abəra kaDavəra) i nie ma żadnego sensu. Nic bardziej mylnego. Jego znaczenie jest jednym z najbardziej przerażających przekleństw. Osoba wypowiadająca „Abrakadabra” każe się komuś znaleźć w ramionach trupa (dosłownie: Idź w ramiona trupa), albo ucałować trupa (tłumaczenie inne: pocałuj trupa). Sam zwrot pochodzi z języka łacińskiego lub francuskiego, który ma swoje korzenie właśnie w tych językach..Embrasser – uścisnąć, ucałować! Embrasse! - uściśnij, ucałuj. Cadavre – trup. Nalezy jednak sobie zdawać prawę, że w tym przypadku słowo trup jest użyte jako synonim diabła. Czyli bardziej poprawne byłoby prztłumaczenie powiedzenia: idź w ramiona dibła lub pocałuj diabła.

Więc (Wielka Sobota) proszę nie przesadzać!

To ciekawe, ale na pewno nie chciałem nikogo urazić ^^ Swoją drogą, musisz być oczytany, skoro decydujesz się na matematyczne forum, z wiedzą historyczną

KOLEJNE ZADANIE

mam obliczyć na ile sposobów można rozmieścić 200 kul do 5 urn, tak że \(\displaystyle{ i}\)-ta urna (\(\displaystyle{ i=1,...,5}\)) musi posiadać co najmniej \(\displaystyle{ i^{2}}\) kul.

Sprawa wydaje się być prosta, bo wystarczy skorzystać z wzoru na wariacje bez powtórzeń (ale nie symbolu Newtona! (\(\displaystyle{ V_{n}^{k}= \frac{n!}{\left( n-k\right)! }}\)) Więc pokolei wychodzi,że dla: \(\displaystyle{ i=1}\) mam 200 możliwości, dla \(\displaystyle{ i=2}\) mam 196 możliwości, dla \(\displaystyle{ i=3}\) mam 191 możliwości, dla \(\displaystyle{ i=4}\) mam 184 możliwości, a dla \(\displaystyle{ i=5}\) mam 175 możliwości. Teraz tylko muszę uwzględnić to, że nie mogą się powtarzać kulki. Finalnie- 200*195*186*170*145. Dobrze?: P

[Michalinho]

Najłatwiej to chyba rozmieścić najpierw \(\displaystyle{ k^2}\) kul do \(\displaystyle{ k}\)-tej urny, a pozostałe rozmieścić w dowolny sposób w urnach. Wynik to najprawdopodobniej \(\displaystyle{ 145+4\choose 4}\).

[Sachato]

A jak liczyć silnie z góry \(\displaystyle{ 145+4\choose 4}\)? 145! +4!, czy 149! ?

Czyli moje obliczenia są złe?

[Michalinho]

\(\displaystyle{ 149!}\)
Myślę, że Twoje są złe. Spójrz na to rozwiązanie:
Rozmieszczamy \(\displaystyle{ k^2}\) kul do \(\displaystyle{ k}\)-tej urny. Zostaje nam \(\displaystyle{ 145}\) kul. Niech \(\displaystyle{ x_i}\) oznacza liczbę kul, które dołożymy do \(\displaystyle{ i}\)-tej urny.
\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=145}\).
Liczba takich podziałów kul do \(\displaystyle{ 5}\) urn jest równa liczbie rozwiązań powyższego równania w liczbach całkowitych nieujemnych, a takich jest \(\displaystyle{ {145+4\choose 4} = {149\choose 4} = 19720001}\)

[Sachato]

a dlaczego jest to +4?

[Michalinho]

Wynika to z metody jaką wyznacza się liczbę rozwiązań równania w liczbach całkowitych nieujemnych:
\(\displaystyle{ x_1+\ldots +x_k=n}\).
Tworzymy ciąg z \(\displaystyle{ n}\) jedynek i \(\displaystyle{ k-1}\) zer. \(\displaystyle{ x_1}\) to liczba jedynek przed pierwszym zerem. Podobnie \(\displaystyle{ x_2}\) to liczba jedynek pomiędzy pierwszym a drugim zerem itd. A więc utworzyliśmy bijekcję pomiędzy zbiorem rozwiązań tej równości a zbiorem permutacji powyższego ciągu. Stąd liczba takich rozwiązań, to \(\displaystyle{ P(n, k-1)={n+k-1\choose k-1}}\).