zad1
Korzystając z zasady szufladkowej, wykaż, że sposród dowolnych 101 liczb naturalnych wybranych z
przedziału [1, 200] znajdą się:
a) dwie względnie pierwsze;
b) dwie takie, że jedna z nich dzieli drugą.
zad2
Uzasadnij, że ostatnie cyfry wyrazów ciągu Fibonacciego tworzą ciąg okresowy
zad3
Wykaż, że każda liczba naturalna n ma wielokrotność zapisywaną wyłącznie za pomocą zer i siódemek.
Wskazówka: rozważ reszty z dzielenia przez n liczb 7, 77, 777, . . . .
zasada szufladkowa Dirichleta
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5745
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 130 razy
- Pomógł: 526 razy
zasada szufladkowa Dirichleta
b). każdą liczbę można przedstawić jako iloczyn potęgi dwójki i nieparzystej:
\(\displaystyle{ a=2^k(2n+1)}\)
W naszym przypadku:
\(\displaystyle{ 0 \le k \le 7}\)
\(\displaystyle{ 0 \le n \le 99}\)
I teraz każdą taką liczbę wkładamy do szuflady o numerze \(\displaystyle{ n}\)
szuflad jest sto a liczb \(\displaystyle{ 99}\) więc będzie dwie liczby postaci:
\(\displaystyle{ 2^is,2^js}\)
\(\displaystyle{ s}\) - nieparzysta
Czyli mają wspólny dzielnik cnd.
W przypadku a). łatwo zauważyć, że w \(\displaystyle{ 101}\) różnych liczbach wybranych z dwustu
Nie może w rozkładzie na czynniki pierwsze istnieć ten sam dzielnik pierwszy , bo nawet dwójka
jest dzielnikiem dla stu liczb itd...
Zad 3.
\(\displaystyle{ 7,77,777,...,777...7}\) tworzymy ciąg \(\displaystyle{ n+1}\) wyrazowy:
Istnieją w tym ciągu dwa wyrazy mające tę samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ n}\)
Odejmując większą od mniejszej otrzymamy liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ n}\) zapisaną za pomocą siódemek i zer.
Zadanie drugie wyniknie z twierdzenia, które mówi, że:
Każda liczba naturalna różna od zera jest dzielnikiem nieskończenie wielu wyrazów ciągu Fibonacciego.
Np łatwo udowodnić, że wśród jakiś tam początkowych wyrazów ciągu Fibonacciego istnieje taki,
który kończy się czterema zerami!
\(\displaystyle{ a=2^k(2n+1)}\)
W naszym przypadku:
\(\displaystyle{ 0 \le k \le 7}\)
\(\displaystyle{ 0 \le n \le 99}\)
I teraz każdą taką liczbę wkładamy do szuflady o numerze \(\displaystyle{ n}\)
szuflad jest sto a liczb \(\displaystyle{ 99}\) więc będzie dwie liczby postaci:
\(\displaystyle{ 2^is,2^js}\)
\(\displaystyle{ s}\) - nieparzysta
Czyli mają wspólny dzielnik cnd.
W przypadku a). łatwo zauważyć, że w \(\displaystyle{ 101}\) różnych liczbach wybranych z dwustu
Nie może w rozkładzie na czynniki pierwsze istnieć ten sam dzielnik pierwszy , bo nawet dwójka
jest dzielnikiem dla stu liczb itd...
Zad 3.
\(\displaystyle{ 7,77,777,...,777...7}\) tworzymy ciąg \(\displaystyle{ n+1}\) wyrazowy:
Istnieją w tym ciągu dwa wyrazy mające tę samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ n}\)
Odejmując większą od mniejszej otrzymamy liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ n}\) zapisaną za pomocą siódemek i zer.
Zadanie drugie wyniknie z twierdzenia, które mówi, że:
Każda liczba naturalna różna od zera jest dzielnikiem nieskończenie wielu wyrazów ciągu Fibonacciego.
Np łatwo udowodnić, że wśród jakiś tam początkowych wyrazów ciągu Fibonacciego istnieje taki,
który kończy się czterema zerami!
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5745
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 130 razy
- Pomógł: 526 razy
zasada szufladkowa Dirichleta
W zadaniu trzecim mamy \(\displaystyle{ n+1}\) liczb
Każdą z tych liczb dzielimy przez \(\displaystyle{ n}\) reszt jest dokładnie \(\displaystyle{ n}\)
Liczb o jedną więcej czyli istnieją dwie liczby, których reszty są identyczne, a więc różnica ich podzielna przez \(\displaystyle{ n}\)
I jak odejmiesz większą od mniejszej to otrzymasz nie dość, że liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ n}\)
To ta różnica składa się z tylko siódemek i zer!
W zadaniu drugim poczytaj sobie na temat tej własności ciągu Fibonacciego nie ma sensu rozpisywać od nowa tego! Tu masz na ten temat podobne zadanie:
72399.htm
Każdą z tych liczb dzielimy przez \(\displaystyle{ n}\) reszt jest dokładnie \(\displaystyle{ n}\)
Liczb o jedną więcej czyli istnieją dwie liczby, których reszty są identyczne, a więc różnica ich podzielna przez \(\displaystyle{ n}\)
I jak odejmiesz większą od mniejszej to otrzymasz nie dość, że liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ n}\)
To ta różnica składa się z tylko siódemek i zer!
W zadaniu drugim poczytaj sobie na temat tej własności ciągu Fibonacciego nie ma sensu rozpisywać od nowa tego! Tu masz na ten temat podobne zadanie:
72399.htm