Inny sposób rozwiązania tego problemu

[Lafoniz]

Rozwiązywałem pewne zadanie, które w uproszczonej wersji wygląda tak:

Ile rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich ma ta nierówność
\(\displaystyle{ a + b \le 2400}\)

Nasunął mi się bardzo prosty pomysł tzn. można zauważyć, że dla \(\displaystyle{ a = 1}\) rozwiązań jest 2399, dla \(\displaystyle{ a = 2}\) rozwiązań jest 2398 ... dla \(\displaystyle{ a = 2399}\) mamy jedno rozwiązanie. Liczba rozwiązań jest równa sumie tych częściowych rozwiązań, więc sumie wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy 1.

Czyli liczba rozwiązań tej nierówności przy takich warunkach wynosi: \(\displaystyle{ S_{2399} = \frac{1+2399}{2} \cdot 2399 = 2878800}\)

Rozumowanie takie można uogólnić i znaleźć liczbę takich rozwiązań dla dowolnej stałej (w sensie tutaj stała wynosiła 2400) i dla takiej ilości zmiennych po lewej stronie, która jest niewiększa od tej stałej.

Znajomy podsunął mi w tym przypadku inne rozwiązanie, jest to po prostu liczba kombinacji dwuelementowych ze zbioru 2400-elementowego, jednak nie widzę tego. Udało mi się znaleźć nawet swego rodzaju interpretację geometryczną (rozwiązania tej nierówności w węzłach układu współrzędnych tworzą trójkąt), ale i tak jedyne co widzę to swoje rozwiązanie, a brak pomysłu dlaczego akurat kombinacje mogłyby zadziałać. Jakaś wskazówka jak to zobaczyć? Wydaję mi się, że to kwestia odpowiedniej interpretacji tych kombinacji.

[Gouranga]

Twoje rozumowanie jest błędne, \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) to dwie różne liczby i rozwiązania \(\displaystyle{ a=1, b=2399}\) oraz \(\displaystyle{ a = 2399, b=1}\) to dwa różne rozwiązania.
ja bym powiedział, że wynikiem jest \(\displaystyle{ {2402 \choose 2}}\)

[Lafoniz]

Twoje rozumowanie jest błędne, a i b to dwie różne liczby i rozwiązania a=1, b=2399 oraz a = 2399, b=1 to dwa różne rozwiązania.

Przeczytaj uważnie co napisałem. Twierdzisz, że policzyłem \(\displaystyle{ (a,b) = (1,2399)}\) oraz \(\displaystyle{ (a,b) = (2399,1)}\) co nie jest prawdą, albowiem:

Dla \(\displaystyle{ a = 1}\) mamy 2399 rozwiązań, a jedno z nich to \(\displaystyle{ (a,b) = (1,2399)}\), tymczasem dla \(\displaystyle{ a = 2399}\) mamy tylko jedno rozwiązanie tzn. \(\displaystyle{ (a,b) = (2399,1)}\). Oba te przypadki są policzone oddzielnie, więc ten przykład wydaję się być nieuzasadniony.

[Gouranga]

Przepraszam, późno było i nie zrozumiałem do końca. Tak więc Twój sposób myślenia jest ok.
Nie spojrzałem też na dodatnie. W takim przypadku wynikiem będzie \(\displaystyle{ {2400 \choose 2}}\)
Do każdej zmiennej dajemy po jednej jednostce, zostaje do podziału \(\displaystyle{ 2398}\), do tego dorzucamy dwa separatory żeby rozdzielić tę resztę na 3 grupy: dodane do \(\displaystyle{ a}\), dodane do \(\displaystyle{ b}\) i nieużywane. mamy więc \(\displaystyle{ 2400}\) miejsc, z czego wybieramy dowolne \(\displaystyle{ 2}\) na separatory, które wyznaczą ilości poszczególnych grup.

Jest jeszcze inna opcja, która bez mocnego programu do obliczeń nie da konkretnego wyniku i to droga okrężna, ale równie poprawna:
\(\displaystyle{ \left( \sum_{i=1}^{2399} z^i \right)^2}\) rozwinąć w sumę i zsumować współczynniki \(\displaystyle{ a_i}\) ze wszystkich składników, gdzie jest \(\displaystyle{ a_i z^j : \quad j \in (1; 2400 \rangle}\)