funkcja tworząca ciągu - weryfikacja

[malwina123]

Witajcie,

mam zadanie znaleźć funkcję tworzącą ciągu dla \(\displaystyle{ 5n+4}\), prosiłabym o weryfikację czy dobrze rozwiązałam

\(\displaystyle{ Ax = \sum_{n=0}^{ \infty } a^{n} x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}(5n+4) \cdot x^{n}}\)
\(\displaystyle{ = \sum_{n=0}^{\infty}5n \cdot x^{n} + \sum_{n=0}^{\infty}4x^{n} =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{5x}{(1-x)^{2}} + \frac{4}{1-x} = \frac{5x+4 \cdot (1-x)}{(1-x)^{2}} =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{5x+4 -4x}{(1-x)^{2}} = \frac{x+4}{(1-x)^{2}}}\)

[musialmi]

Wygląda na to, że dobrze (Sprawdzałem tylko do trzeciej linijki włącznie)

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }x^{n}=\frac{1}{1-x}\\
\frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left(\sum_{n=0}^{ \infty }{x^{n}} \right)=\frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left(\frac{1}{1-x} \right) \\
\sum_{n=0}^{ \infty }{nx^{n-1}}= \frac{-1}{\left( 1-x\right)^2 } \cdot \left( -1\right) \\
\sum_{n=1}^{ \infty }{nx^{n-1}}= \frac{1}{\left( 1-x\right)^2 } \\
\sum_{n=0}^{ \infty }{\left( n+1\right) x^{n}}= \frac{1}{\left( 1-x\right)^2 }\\
5n+4=5\left( n+1\right)-1\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{5\left( n+1\right) x^{n}}-\sum_{n=0}^{ \infty }{x^{n}}\\
=\frac{5}{\left( 1-x\right)^2 }-\frac{1}{1-x}\\
\frac{5-\left( 1-x\right) }{\left( 1-x\right)^2 }\\
\frac{x+4}{\left( 1-x\right)^2 }}\)
Zatem wyszło dobrze