Poprawność rozumowania-rekurencja

[robsel]

Witam, chciałbym, aby ktoś sprawdził czy mam dobre podejście do rozwiązywania równań rekurencyjnych.

Zad.1 Rozwiązać

\(\displaystyle{ a _{0}=2 , a_{1}=5, a_{n+2}-4 a_{n+1}+4 a_{n}= 2^{n}, n \ge 0}\)

I. \(\displaystyle{ a_{n+2}-4 a_{n+1}+4 a_{n}=0}\)

\(\displaystyle{ a_{n}~ r^{n}}\)

\(\displaystyle{ r^{n+2}-4r^{n+1}+4r^{n}=0 / : r^{n}}\)
\(\displaystyle{ r^2-4r+4=0}\)
\(\displaystyle{ (r-2) ^{2}=0}\) \(\displaystyle{ (**)}\)

\(\displaystyle{ a_{n}^{0}= c_{1} \cdot 2^{n}+ c_{2} \cdot n \cdot 2^{n}}\) \(\displaystyle{ (***)}\)?????????????

II. \(\displaystyle{ a_{n}^{s}=A \cdot n^{2} \cdot 2^{n}}\)?????
I teraz problem pojawia się tam, gdzie postawiłem znaki zapytania. Czy jeżeli byłby przypadek że w równaniu (**) wyjdzie np. pierwiastek 3-krotny, 4-krotny,5-krotny to do równania (***) w przypadku załóżmy 3-krotnego piszemy \(\displaystyle{ a_{n}^{0}= c_{1} \cdot 2^{n}+ c_{2} \cdot n^{2} \cdot 2^{n}}\) czy pojawia się jakieś \(\displaystyle{ c_{3}}\). Drugie pytanie- czy \(\displaystyle{ a_{n}^{s}}\) w tym przypadku wygląda prawidłowo? W sensie mamy \(\displaystyle{ n^{2}}\) między \(\displaystyle{ A}\) a \(\displaystyle{ 2^{n}}\) bo (**) mamy pierwiastek 2-krotny? Czy gdyby był np. 3-krotny to mielibyśmy \(\displaystyle{ n^{3}}\)? czy może w ogóle coś innego?

[Gouranga]

\(\displaystyle{ a_n r^n}\)

skąd założenie, że to jest ciąg geometryczny?

[robsel]

miało być \(\displaystyle{ a_{n}= r^{n}}\) (podstawienie), mój błąd

[Mariusz M]

Jak się korzysta z funkcji tworzących to wszystko widać
Po użyciu funkcji tworzących pojawia się suma szeregów geometrycznych i ich pochodnych