Przy okazji zadania kombinatorycznego odkryłem równość:
\(\displaystyle{ n!=\sum_{k=1}^n(-1)^{n-k}{n\choose k}k^n}\)
Uzasadnienie: Policzymy suriekcje ze zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego w siebie. Z jednej strony jest ich \(\displaystyle{ n!}\). Z drugiej możemy od liczby wszystkich funkcji, \(\displaystyle{ n^n}\), odjąć liczbę tych, które nie są suriekcjami, i poprzez zasadę włączeń i wyłączeń otrzymujemy prawą stronę.
Zastanawiam się nad jakimś innym uzasadnieniem. "Odkrycie" wydaje mi się trochę podejrzane i może to wynika w prosty sposób z innych, ogólniejszych faktów, ale jakoś tego nie widzę.
Tożsamość z silnią
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Tożsamość z silnią
Dla mnie Bomba!
Tylko teraz w szkole będą mieli przerąbane jak im taki wzór na silnię zasadzą, i każą się nauczyć, bądź co bądź stary wzór był bardziej czytelny i prostszy.
Tylko teraz w szkole będą mieli przerąbane jak im taki wzór na silnię zasadzą, i każą się nauczyć, bądź co bądź stary wzór był bardziej czytelny i prostszy.
- musialmi
- Użytkownik
- Posty: 3466
- Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PWr ocław
- Podziękował: 382 razy
- Pomógł: 434 razy
Tożsamość z silnią
Arek xDDDD
Majeskas, istnieje takie coś, jak dowód kombinatoryczny. I ty właśnie coś takiego chcesz zaprezentować. Udowodnić pewnie można też indukcyjnie, co zazwyczaj jest trudniejsze (zakładam, że ta równość jest w ogóle prawdziwa).
EDIT: Chwila, dlaczego twoja silnia przyjmuje wartości ujemne?
Majeskas, istnieje takie coś, jak dowód kombinatoryczny. I ty właśnie coś takiego chcesz zaprezentować. Udowodnić pewnie można też indukcyjnie, co zazwyczaj jest trudniejsze (zakładam, że ta równość jest w ogóle prawdziwa).
EDIT: Chwila, dlaczego twoja silnia przyjmuje wartości ujemne?
-
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
Tożsamość z silnią
Nie twierdzę, że to coś wielce praktycznego. Ot, ciekawostka.arek1357 pisze:Dla mnie Bomba!
Tylko teraz w szkole będą mieli przerąbane jak im taki wzór na silnię zasadzą, i każą się nauczyć, bądź co bądź stary wzór był bardziej czytelny i prostszy.
Musialmi, mało, że istnieje, to nawet taki dowód (szkicowo) zaprezentowałemmusialmi pisze:
Majeskas, istnieje takie coś, jak dowód kombinatoryczny. I ty właśnie coś takiego chcesz zaprezentować.
Przeszło mi to przez myśl, ale to chyba akurat najgorsze, co można zrobić. Nie wygląda, żeby dowodziło się gładko, zresztą nie widzę sensu, skoro stoi za tym w miarę elegancka kombinatoryka. Zastanawiając się na głos nad innymi sposobami dojścia do tego, myślałem raczej o jakichś szeregach czy wielomianach.Udowodnić pewnie można też indukcyjnie, co zazwyczaj jest trudniejsze (zakładam, że ta równość jest w ogóle prawdziwa).
To znaczy dla jakich \(\displaystyle{ n}\)?EDIT: Chwila, dlaczego twoja silnia przyjmuje wartości ujemne?
- musialmi
- Użytkownik
- Posty: 3466
- Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PWr ocław
- Podziękował: 382 razy
- Pomógł: 434 razy
Tożsamość z silnią
Dla żadnych, jak zwykle głupio napisałem. Jeśli to działa, to gratulujęMajeskas pisze:To znaczy dla jakich \(\displaystyle{ n}\)?EDIT: Chwila, dlaczego twoja silnia przyjmuje wartości ujemne?