Tożsamość z silnią

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1456
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Tożsamość z silnią

Post autor: Majeskas »

Przy okazji zadania kombinatorycznego odkryłem równość:

\(\displaystyle{ n!=\sum_{k=1}^n(-1)^{n-k}{n\choose k}k^n}\)

Uzasadnienie: Policzymy suriekcje ze zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego w siebie. Z jednej strony jest ich \(\displaystyle{ n!}\). Z drugiej możemy od liczby wszystkich funkcji, \(\displaystyle{ n^n}\), odjąć liczbę tych, które nie są suriekcjami, i poprzez zasadę włączeń i wyłączeń otrzymujemy prawą stronę.
Zastanawiam się nad jakimś innym uzasadnieniem. "Odkrycie" wydaje mi się trochę podejrzane i może to wynika w prosty sposób z innych, ogólniejszych faktów, ale jakoś tego nie widzę.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Tożsamość z silnią

Post autor: arek1357 »

Dla mnie Bomba!

Tylko teraz w szkole będą mieli przerąbane jak im taki wzór na silnię zasadzą, i każą się nauczyć, bądź co bądź stary wzór był bardziej czytelny i prostszy.
Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

Tożsamość z silnią

Post autor: musialmi »

Arek xDDDD

Majeskas, istnieje takie coś, jak dowód kombinatoryczny. I ty właśnie coś takiego chcesz zaprezentować. Udowodnić pewnie można też indukcyjnie, co zazwyczaj jest trudniejsze (zakładam, że ta równość jest w ogóle prawdziwa).
EDIT: Chwila, dlaczego twoja silnia przyjmuje wartości ujemne?
Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1456
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Tożsamość z silnią

Post autor: Majeskas »

arek1357 pisze:Dla mnie Bomba!

Tylko teraz w szkole będą mieli przerąbane jak im taki wzór na silnię zasadzą, i każą się nauczyć, bądź co bądź stary wzór był bardziej czytelny i prostszy.
Nie twierdzę, że to coś wielce praktycznego. Ot, ciekawostka.
musialmi pisze:
Majeskas, istnieje takie coś, jak dowód kombinatoryczny. I ty właśnie coś takiego chcesz zaprezentować.
Musialmi, mało, że istnieje, to nawet taki dowód (szkicowo) zaprezentowałem

Udowodnić pewnie można też indukcyjnie, co zazwyczaj jest trudniejsze (zakładam, że ta równość jest w ogóle prawdziwa).
Przeszło mi to przez myśl, ale to chyba akurat najgorsze, co można zrobić. Nie wygląda, żeby dowodziło się gładko, zresztą nie widzę sensu, skoro stoi za tym w miarę elegancka kombinatoryka. Zastanawiając się na głos nad innymi sposobami dojścia do tego, myślałem raczej o jakichś szeregach czy wielomianach.
EDIT: Chwila, dlaczego twoja silnia przyjmuje wartości ujemne?
To znaczy dla jakich \(\displaystyle{ n}\)?
Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

Tożsamość z silnią

Post autor: musialmi »

Majeskas pisze:
EDIT: Chwila, dlaczego twoja silnia przyjmuje wartości ujemne?
To znaczy dla jakich \(\displaystyle{ n}\)?
Dla żadnych, jak zwykle głupio napisałem. Jeśli to działa, to gratuluję
ODPOWIEDZ