Silnia z Zero
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 16 lut 2015, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Leszno
- Podziękował: 10 razy
Silnia z Zero
Witam. Ostatnio na wykładach z Matematyki Dyskretnej było poruszane coś odnośnie silni. Wiadomym jest, iż silnia jest funkcją rekurencyjną i
\(\displaystyle{ !n = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n}\)
Wiem też, że
\(\displaystyle{ !1 = 1}\)
Oraz
\(\displaystyle{ !2 = 1 \cdot 2 = 2}\)
No i
\(\displaystyle{ !3 = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6}\)
...i tak dalej...
Natomiast było też pokazane, że:
\(\displaystyle{ !0 = 1}\)
Dlaczego i jakim cudem ?? Czy silnia z zera nie powinna wynosić zero (0) ??
I jeszcze jedno pytanko. Czy istnieje coś takiego, jak silnia z liczb ujemnych ? Jeżeli tak, to jak się ją wylicza, a jeżeli nie, to dlaczego nie istnieje ??
To pytanka, które zaczęły mnie ostatnio nurtować. Z góry dziękuję za odpowiedź.
\(\displaystyle{ !n = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n}\)
Wiem też, że
\(\displaystyle{ !1 = 1}\)
Oraz
\(\displaystyle{ !2 = 1 \cdot 2 = 2}\)
No i
\(\displaystyle{ !3 = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6}\)
...i tak dalej...
Natomiast było też pokazane, że:
\(\displaystyle{ !0 = 1}\)
Dlaczego i jakim cudem ?? Czy silnia z zera nie powinna wynosić zero (0) ??
I jeszcze jedno pytanko. Czy istnieje coś takiego, jak silnia z liczb ujemnych ? Jeżeli tak, to jak się ją wylicza, a jeżeli nie, to dlaczego nie istnieje ??
To pytanka, które zaczęły mnie ostatnio nurtować. Z góry dziękuję za odpowiedź.
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Silnia z Zero
Po pierwsze, nie \(\displaystyle{ !5}\) lecz \(\displaystyle{ 5!}\).
Jest co najmniej parę powodów, dla których wygodnie jest przyjąć, że \(\displaystyle{ 0!=1}\). Pierwszy to taki, że \(\displaystyle{ n!}\) dla \(\displaystyle{ n\geq 1}\) oznacza ilość permutacji zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego. Zbiór pusty ma \(\displaystyle{ 0}\) elementów, więc istnieje jeden sposób na jego przestawienie.
Drugi jest taki, że silnię można określić wzorem rekurencyjnym \(\displaystyle{ n!=n\cdot(n-1)!}\). Gdyby złożyć, że \(\displaystyle{ 0!=0}\), to ten wzór nie byłby prawdziwy dla \(\displaystyle{ n=1}\).
Trzeci to twierdzenie Bohra-Mollerupa, które mówi, że jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest logarytmicznie wypukła, \(\displaystyle{ f(1)=1}\) i spełnia warunek \(\displaystyle{ zf(z)=f(z+1)}\) (czyli taki warunek jak silnia, tyle że dla liczb rzeczywistych), to tą funkcja musi być funkcja
\(\displaystyle{ \Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt}\).
Wtedy dla naturalnych \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ \Gamma(n)=(n-1)!}\). Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy z jednej strony \(\displaystyle{ \Gamma(1)=1}\), a z drugiej \(\displaystyle{ \Gamma(1)=0!}\).
Kolejne konsekwencje tego wygodnego podejścia to np. wzór \(\displaystyle{ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}}\), którego prawa strona - przy założeniu \(\displaystyle{ 0!=0}\) nie miałby sensu dla \(\displaystyle{ k=n}\), a lewa nadal oznaczałaby ilośc sposobów wybrania zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego ze zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego.
Funkcja \(\displaystyle{ \Gamma}\) jest dobrze określona dla wszystkich liczb, za wyjątkiem \(\displaystyle{ 0,-1,-2,\dots}\). Więcej informacji na Wiki - poszukaj funkcji Gamma.
Jest co najmniej parę powodów, dla których wygodnie jest przyjąć, że \(\displaystyle{ 0!=1}\). Pierwszy to taki, że \(\displaystyle{ n!}\) dla \(\displaystyle{ n\geq 1}\) oznacza ilość permutacji zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego. Zbiór pusty ma \(\displaystyle{ 0}\) elementów, więc istnieje jeden sposób na jego przestawienie.
Drugi jest taki, że silnię można określić wzorem rekurencyjnym \(\displaystyle{ n!=n\cdot(n-1)!}\). Gdyby złożyć, że \(\displaystyle{ 0!=0}\), to ten wzór nie byłby prawdziwy dla \(\displaystyle{ n=1}\).
Trzeci to twierdzenie Bohra-Mollerupa, które mówi, że jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest logarytmicznie wypukła, \(\displaystyle{ f(1)=1}\) i spełnia warunek \(\displaystyle{ zf(z)=f(z+1)}\) (czyli taki warunek jak silnia, tyle że dla liczb rzeczywistych), to tą funkcja musi być funkcja
\(\displaystyle{ \Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt}\).
Wtedy dla naturalnych \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ \Gamma(n)=(n-1)!}\). Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy z jednej strony \(\displaystyle{ \Gamma(1)=1}\), a z drugiej \(\displaystyle{ \Gamma(1)=0!}\).
Kolejne konsekwencje tego wygodnego podejścia to np. wzór \(\displaystyle{ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}}\), którego prawa strona - przy założeniu \(\displaystyle{ 0!=0}\) nie miałby sensu dla \(\displaystyle{ k=n}\), a lewa nadal oznaczałaby ilośc sposobów wybrania zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego ze zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego.
Funkcja \(\displaystyle{ \Gamma}\) jest dobrze określona dla wszystkich liczb, za wyjątkiem \(\displaystyle{ 0,-1,-2,\dots}\). Więcej informacji na Wiki - poszukaj funkcji Gamma.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Silnia z Zero
Tego raczej się nie pokazuje, tylko definiuje. Bez tego definicja silni jest niekompletna.Nitr0Skay pisze: Natomiast było też pokazane, że:
\(\displaystyle{ !0 = 1}\)
Dlaczego i jakim cudem ?? Czy silnia z zera nie powinna wynosić zero (0) ??
Ktoś już próbował tego "dowodzić" na forum (369519.htm - tematyka wydzielona z innego tematu). Jeżeli masz czas, polecam dydaktyczną lekturę na temat definicji silni (wystarczy pierwsza strona).
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 16 lut 2015, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Leszno
- Podziękował: 10 razy
Silnia z Zero
Zatem silnia to po prostu ilość permutacji danego zbioru - permutacji a więc oryginalnych możliwości przedstawiania tego zbioru, dobrze to rozumiem ?
Zatem i jedynka i zero mają tylko jedną możliwość prezentacji, a więc silnia z tych liczb wynosi 1. Natomiast silnia z dwóch wynosi też dwa, bo na dwa różne sposoby możemy przestawić ten zbiór, czyż nie ?
Zatem i jedynka i zero mają tylko jedną możliwość prezentacji, a więc silnia z tych liczb wynosi 1. Natomiast silnia z dwóch wynosi też dwa, bo na dwa różne sposoby możemy przestawić ten zbiór, czyż nie ?
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 14 mar 2015, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lokalizacja
Silnia z Zero
Nitr0skay dokładnie, to co ten pan wyliczył w pierwszej odpowiedzi to bez komentarza, chyba jakiś profesor. \(\displaystyle{ 0!}\) powinna wynosić \(\displaystyle{ 0}\), bo \(\displaystyle{ 0 \cdot (0-(-1) = 0 \cdot (0+1) = 0 \cdot 1 = 0}\)
Ostatnio zmieniony 25 mar 2015, o 12:24 przez yorgin, łącznie zmieniany 5 razy.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Silnia z Zero
Biały znak z czerwoną obwódką i w środku liczba 50 oznacza ograniczenie prędkości do 50km/h. Rozumując tak jak Ty, taki znak ale bez liczby oznacza, że można tu jechac z dowolna prędkościa. A jednak jest inaczej.xHanSolo pisze: 0! powinna wynosić 0, bo nie ma tu żadnych mnożeń.
POdałem kilka argumentów, które świadczą o tym, że WYGODNIE jest przyjąc \(\displaystyle{ 0!=1}\).
Co więcej, cały matematyczny swiat się z nimi zgadza. Jeżeli masz chęć, możesz na własny użytek przyjąc inną konwencję. ALe musisz o tym wyraźnie napisać, bo inaczej po prostu oblejesz maturę.
Argument, że "tu nie ma żadnych mnożeń" jest słąby: skoro nic się nie robi, to nic sie nie zmienia. Operacją mnożenia, która nie zmienia nic jest mnożenie przez 1 (a nie przez zero), więc warto jednak przyjąć \(\displaystyle{ 0!=1}\)
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Silnia z Zero
Co ma piernik do wiatraka?xHanSolo pisze:Nitr0skay dokładnie, to co ten pan wyliczył w pierwszej odpowiedzi to bez komentarza, chyba jakiś profesor. \(\displaystyle{ 0!}\) powinna wynosić \(\displaystyle{ 0}\), bo \(\displaystyle{ 0 \cdot (0-(-1) = 0 \cdot (0+1) = 0 \cdot 1 = 0}\)
\(\displaystyle{ 0!}\) jest zdefiniowaną wielkością, nie wyznaczalną. Koniec tematu.