Silnia z Zero

[Nitr0Skay]

Witam. Ostatnio na wykładach z Matematyki Dyskretnej było poruszane coś odnośnie silni. Wiadomym jest, iż silnia jest funkcją rekurencyjną i
\(\displaystyle{ !n = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n}\)

Wiem też, że
\(\displaystyle{ !1 = 1}\)

Oraz
\(\displaystyle{ !2 = 1 \cdot 2 = 2}\)

No i
\(\displaystyle{ !3 = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6}\)
...i tak dalej...

Natomiast było też pokazane, że:
\(\displaystyle{ !0 = 1}\)

Dlaczego i jakim cudem ?? Czy silnia z zera nie powinna wynosić zero (0) ??

I jeszcze jedno pytanko. Czy istnieje coś takiego, jak silnia z liczb ujemnych ? Jeżeli tak, to jak się ją wylicza, a jeżeli nie, to dlaczego nie istnieje ??
To pytanka, które zaczęły mnie ostatnio nurtować. Z góry dziękuję za odpowiedź.

[a4karo]

Po pierwsze, nie \(\displaystyle{ !5}\) lecz \(\displaystyle{ 5!}\).
Jest co najmniej parę powodów, dla których wygodnie jest przyjąć, że \(\displaystyle{ 0!=1}\). Pierwszy to taki, że \(\displaystyle{ n!}\) dla \(\displaystyle{ n\geq 1}\) oznacza ilość permutacji zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego. Zbiór pusty ma \(\displaystyle{ 0}\) elementów, więc istnieje jeden sposób na jego przestawienie.
Drugi jest taki, że silnię można określić wzorem rekurencyjnym \(\displaystyle{ n!=n\cdot(n-1)!}\). Gdyby złożyć, że \(\displaystyle{ 0!=0}\), to ten wzór nie byłby prawdziwy dla \(\displaystyle{ n=1}\).
Trzeci to twierdzenie Bohra-Mollerupa, które mówi, że jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest logarytmicznie wypukła, \(\displaystyle{ f(1)=1}\) i spełnia warunek \(\displaystyle{ zf(z)=f(z+1)}\) (czyli taki warunek jak silnia, tyle że dla liczb rzeczywistych), to tą funkcja musi być funkcja
\(\displaystyle{ \Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt}\).
Wtedy dla naturalnych \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ \Gamma(n)=(n-1)!}\). Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy z jednej strony \(\displaystyle{ \Gamma(1)=1}\), a z drugiej \(\displaystyle{ \Gamma(1)=0!}\).

Kolejne konsekwencje tego wygodnego podejścia to np. wzór \(\displaystyle{ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}}\), którego prawa strona - przy założeniu \(\displaystyle{ 0!=0}\) nie miałby sensu dla \(\displaystyle{ k=n}\), a lewa nadal oznaczałaby ilośc sposobów wybrania zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego ze zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego.

Funkcja \(\displaystyle{ \Gamma}\) jest dobrze określona dla wszystkich liczb, za wyjątkiem \(\displaystyle{ 0,-1,-2,\dots}\). Więcej informacji na Wiki - poszukaj funkcji Gamma.

[yorgin]

Natomiast było też pokazane, że:
\(\displaystyle{ !0 = 1}\)

Dlaczego i jakim cudem ?? Czy silnia z zera nie powinna wynosić zero (0) ??

Tego raczej się nie pokazuje, tylko definiuje. Bez tego definicja silni jest niekompletna.

Ktoś już próbował tego "dowodzić" na forum (369519.htm - tematyka wydzielona z innego tematu). Jeżeli masz czas, polecam dydaktyczną lekturę na temat definicji silni (wystarczy pierwsza strona).

[Nitr0Skay]

Zatem silnia to po prostu ilość permutacji danego zbioru - permutacji a więc oryginalnych możliwości przedstawiania tego zbioru, dobrze to rozumiem ?

Zatem i jedynka i zero mają tylko jedną możliwość prezentacji, a więc silnia z tych liczb wynosi 1. Natomiast silnia z dwóch wynosi też dwa, bo na dwa różne sposoby możemy przestawić ten zbiór, czyż nie ?

[xHanSolo]

Nitr0skay dokładnie, to co ten pan wyliczył w pierwszej odpowiedzi to bez komentarza, chyba jakiś profesor. \(\displaystyle{ 0!}\) powinna wynosić \(\displaystyle{ 0}\), bo \(\displaystyle{ 0 \cdot (0-(-1) = 0 \cdot (0+1) = 0 \cdot 1 = 0}\)

[a4karo]

0! powinna wynosić 0, bo nie ma tu żadnych mnożeń.

Biały znak z czerwoną obwódką i w środku liczba 50 oznacza ograniczenie prędkości do 50km/h. Rozumując tak jak Ty, taki znak ale bez liczby oznacza, że można tu jechac z dowolna prędkościa. A jednak jest inaczej.

POdałem kilka argumentów, które świadczą o tym, że WYGODNIE jest przyjąc \(\displaystyle{ 0!=1}\).
Co więcej, cały matematyczny swiat się z nimi zgadza. Jeżeli masz chęć, możesz na własny użytek przyjąc inną konwencję. ALe musisz o tym wyraźnie napisać, bo inaczej po prostu oblejesz maturę.

Argument, że "tu nie ma żadnych mnożeń" jest słąby: skoro nic się nie robi, to nic sie nie zmienia. Operacją mnożenia, która nie zmienia nic jest mnożenie przez 1 (a nie przez zero), więc warto jednak przyjąć \(\displaystyle{ 0!=1}\)

[Nitr0Skay]

Dobra, dzięki za pomoc. Już mniej więcej to rozumiem

[yorgin]

Nitr0skay dokładnie, to co ten pan wyliczył w pierwszej odpowiedzi to bez komentarza, chyba jakiś profesor. \(\displaystyle{ 0!}\) powinna wynosić \(\displaystyle{ 0}\), bo \(\displaystyle{ 0 \cdot (0-(-1) = 0 \cdot (0+1) = 0 \cdot 1 = 0}\)

Co ma piernik do wiatraka?

\(\displaystyle{ 0!}\) jest zdefiniowaną wielkością, nie wyznaczalną. Koniec tematu.